前言

在学习Acwing c++蓝桥杯辅导课第八讲数论-AcWing 1223. 最大比例时有使用到求指数的最大公约数，这里来记录下知识点。

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辗转相除法（又名欧几里算法）

应用：辗转相除实际也就是欧几里得算法，主要是求两个整数的最大公约数。

举例：gcd(5²，5³) = 5²

注意：而针对于指数形式的要求得的最大公约数则需要使用辗转相减法。

代码：时间复杂度O(logn)。

class Solution {

    //欧几里得算法(辗转相除法)
    public static int gcd(int a, int b) {
        if (b == 0) return a;
        return gcd(b, a % b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(gcd(12, 5));
    }
}

辗转相减法（又名更相减损法）

原始辗转相减法

场景：更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

原理：gcd(a,b)=gcd(b,a−b)。

代码实现：

public static int gcd_sub(int a, int b) {
    while (a != b) {
        if (a > b) {
            a = a - b;
        } else {
            b = b - a;
        }
    }
    return a;
}

改版辗转相减法（减的是指数）

算法题：AcWing 1223. 最大比例

通过辗转相减法gcd(x,y) = gcd(y,x%y) = gcd(y,x−y)来进行推导：f(p^x,p^y) = p^gcd(x,y) = p^gcd(y,x−y) = f(p^y,p(^x−y)) = f(p^y, $\frac{px}{py}$ )，即可以求

求p^x和p^y幂的最大公约数次幂p^gcd(x,y)。

应用：辗转相减法可以用来求若干个形如( $\frac{p}{q}$ )^ri的数的最大公约数。

举例（指数的最大公约数）：gcd_sub(5²，5³) = 5¹

算法推导过程：f(p^x,p^y) = p^(x,y) = p^(y,x−y) = f(p^y,p(^x−y)) = f(p^y, $\frac{px}{py}$ )

$\frac{p}{q}$ 不可以再表示为次幂的形式。
p、q、ri均为正整数。

代码：时间复杂度O(n)

class Solution {

    /**
     * 辗转相减法（指数的最大公约数）
     * @return
     */
    public static int gcd_sub(int a, int b) {
        if (b == 1) return a;
        if (a < b) {
            int temp = a;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return gcd_sub(b, a / b);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(gcd_sub(25, 125));
    }
}