序言

• 总结逻辑回归模型，LR模型实例

1. 线性回归

• 一元线性回归：$y=a+bx$
• 多元线性回归：$z=h(x)=w_0{x}_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n=W^{T}X$
  • 每个样本$n$个特征，每个特征$x_i$都有对应的权值$w_i$
  • $x_0=1$，$w_0$其实是偏置量，为了公式简洁和方便计算
• 不管是一元线性回归分析还是多元线性回归分析，都是线性回归分析

2. 逻辑回归

2.1 引入逻辑回归的原因

• 在一些特别的情况下, 线性回归可以用于分类问题, 找到分类的阈值, 但是一旦样本点出现分布不均匀, 会导致线性方程的参数产生偏移, 造成严重的误差
• 另一方面, 我们希望分类模型的输出是0,1即可, 线性回归的值域在$(-\infty ,+\infty )$, 是连续的, 不满足我们的要求

2.2 逻辑回归

• 逻辑回归与线性回归都是广义线性模型, 线性回归假设Y|X服从高斯分布, 逻辑回归假设Y|X服从伯努利分布
• 逻辑回归以线性回归为理论支持, 通过逻辑函数(Sigmoid函数)引入非线性因素。逻辑回归的思路就是将线性回归的结果z通过逻辑函数g(z)从$(-\infty ,+\infty )$映射到(0,1), 再通过决策边界建立与分类的概率联系
• 逻辑回归虽然带有"回归"二字, 但却是一种分类模型, 最常见的是用于处理二分类问题
• 逻辑回归假设数据服从伯努利分布(二项分布，0-1分布)，通过极大似然估计的方法，运用梯度下降法求解参数，来达到将数据二分类的目的

2.3 逻辑回归的应用

• 逻辑回归模型广泛用于各个领域，包括机器学习，大多数医学领域和社会科学
• 逻辑回归模型也用于预测在给定的过程中，系统或产品的故障的可能性
• 逻辑回归模型现在同样是很多分类算法的基础组件，其模型清晰有对应的概率学理论基础，是理解数据的好工具

3. 逻辑函数

3.1 sigmoid函数

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

sigmoid函数图像

3.2 sigmoid函数的性质

• 任意输入压缩到0-1之间
• 任意阶可导, 函数在z = 0处的导数最大
• 函数满足关系：$g(-z)=1-g(z)$
• 导函数满足关系：$\frac{\partial g(z)}{\partial z}=g(z)(1-g(z))$
• 函数两边梯度趋于饱和, 容易导致梯度消失
  • z=5时，g(z)已经在0.99以上

3.3 决策边界

• 将线性回归结果带入g(z)函数, 得到0~1之间的概率值, 如果认为p > 0.5属于一类, 否则是另一类, 那么0.5就是决策边界

3.4 对数几率

• 逻辑函数做如下抓换

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\Rightarrow g(z)\ast (1+e^{-z})=1\Rightarrow e^{-z}=\frac{1}{g(z)}-1\Rightarrow -z=ln(\frac{1-g(z)}{g(z)})\Rightarrow z=ln(\frac{g(z)}{1-g(z)})$$

• 上式中，$z=h(x)={\theta }^{T}X=W^{T}X$
• 如果将逻辑回归结果$g(z)$看成某个事件发生的概率，事件不发生的概率就是$1-g(z)$，两者比值称之为几率odds
• 令$g(z)=p$，得到如下公式

$$z={\theta }^{T}X=ln(\frac{g(z)}{1-g(z)})=ln(\frac{p}{1-p})=ln(几率)=ln(odds)$$

• 也就是说，线性回归的结果（即$z={\theta }^{T}X$）等于对数几率。所以逻辑回归模型也叫对率回归模型

4. 损失函数

• 逻辑回归的假设有两个
  • 假设数据服从伯努利分布
  • 假设模型的输出值是样本为正例的概率
• 基于这两个假设，可以分别得到类别为正例1和反例0的后验概率估计：

$$p(y=1|x,\theta )=h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-x\theta }}$$

$$p(y=0|x,\theta )=1-h_{\theta }(x)=\frac{e^{-x\theta }}{1+e^{-x\theta }}$$

4.1 为什么说逻辑回归时概率类模型

• 直接建模了目标变量0-1的条件概率, 如上, 通过逻辑函数sigmoid将线性回归模型的输出转换为概率值，从而预测给定输入特征下目标变量取某个值(0或1)的概率
• 在实际应用中, 可以根据逻辑回归模型输出的概率值来做出决策(决策边界)
• 逻辑回归输出的概率值有明确的概率解释

4.2 为什么要进行极大似然估计

• 首先模型训练的目的是找到最能描述观测到的结果的模型, 在逻辑回归中, 意味着找到一组参数, 使得在给定输入特征下, 模型预测的结果与观测到的结果最为接近
• 如果使用线性回归的损失函数如MSE等来评估模型的训练过程, 由于所得函数非凸, 而且有很多局部极小值, 不利于求解。如下图所示

• 结合上面所述, 逻辑回归是概率模型, 可以通过似然估计来推导其损失函数

4.3 利用MLE如何推导出损失函数

• 逻辑回归的交叉熵损失函数是通过最大似然估计出来的
• 什么是极大似然估计
  • 极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计
• （1）以上通过基本假设得到了1和0两类的后验概率，现在将两个概率合并可得到

$$p(y|x,\theta )=h_{\theta }(x{)}^y(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y},y\in 0,1$$
\qquad \qquad 当$y=1$时，上式为类别1的后验概率；当$y=0$时，上式为类别0的后验概率

• （2）我们假定样本数据都是独立同分布的（是逻辑回归的基本假设->联合分布可用乘法），使用极大似然估计来根据给定的训练数据集估计出模型参数，讲n个训练样本的概率相乘得到
  $$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}p(y^{(i)}|x^{(i)},\theta )=\prod _{i=1}^n{h}_{\theta }(x^{(i)}{)}^{y^{(i)}}(1-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^{1-y^{(i)}}$$

• （3）似然函数是相乘的模型，可以通过取对数将右边变为相加的模型，然后将指数提前便于求解。变换后如下
  $$l(\theta )=ln(L(\theta ))=\sum _{i=1}^n{y}^{(i)}ln[h_{\theta }(x^{(i)})]+(1-y^{(i)})ln[1-h_{\theta }(x^{(i)})]$$
  \qquad 引入不改变函数单调性的对数函数ln，把连乘变成加法。使用对数似然函数，不仅仅把连乘变成加法，便于求解，而且对数似然函数对应的损失函数是关于未知参数$\theta$的高阶连续可导的凸函数，便于求解全局最优解

• （4）如果取整个数据集上的平均对数似然损失，可以得到
  $$J(\theta )=-\frac{1}{n}l(\theta )=-\frac{1}{n}ln(L(\theta ))$$
  \qquad 如上公式的$J(\theta )$为对数损失函数（二元交叉损失熵），由对数似然函数添加负号取平均得到，即在逻辑回归模型中，最大化似然函数与最小化损失函数实际上是等价的，即求最大化似然函数的参数$\theta$与求最小化平均对数似然损失函数对应的参数$\theta$是一致的，那么有
  $$\max ln(L(\theta ))\iff \min J(\theta )$$
  \qquad 之所以要加负号，是因为机器学习的目标是最小化损失函数，而极大似然估计法的目标是最大化似然函数。加个负号，正好使二者等价

• （5）我们将对数损失函数最小化，如此得到参数的最大似然估计。对数损失函数的公式：
  $$J(\theta )=-\frac{1}{n}\left[\sum _{i=1}^n{y}^{(i)}ln[h_{\theta }(x^{(i)})]+(1-y^{(i)})ln[1-h_{\theta }(x^{(i)})]\right]$$
  \qquad 其中$y^{(i)}$表示样本取值，正样本时取值为1，负样本时取值为0。我们分两种情况来分析
  $$Cost(h_{\theta }(x),y)=\{\begin{array}{ll}-ln(h_{\theta }(x))& \text{ if }y=1\\ -ln(1-h_{\theta }(x))& \text{ if }y=0\end{array}$$

\qquad 当$y=1$，正样本，若$h_{\theta }(x^{(i)})$结果接近0，即预测为负样本，那么$-ln(h_{\theta }(x))$就会很大，如下图，损失就大得到的惩罚就大

\qquad 当$y=0$，负样本，若$h_{\theta }(x^{(i)})$结果接近1，即预测为正样本，那么$-ln(1-h_{\theta }(x))$就会很大，如下图，损失就大得到的惩罚就大

\qquad 这种惩罚的存在，模型会倾向于让预测输出更接近于真实样本标签$y$

• （6）如何求得损失函数最小对应的参数呢，使用梯度下降法，损失函数对特征$j$求偏导，$i$表示样本
  

\qquad 至此，我们找到了梯度下降的方向，只要给定一个步长就可以用迭代的方式来求待求参数，迭代的公式为：

$${\theta }_j^{(k+1)}={\theta }_j^{(k)}-\alpha F$$
\qquad 其中$\alpha$为学习率，是一个大于零的数，控制沿着某个方向走多长一段距离，$F$为下降方向
$$F=\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_j}$$
\qquad 所以参数迭代公式可写为：
$${\theta }_j^{(k+1)}={\theta }_j^{(k)}-\alpha \ast \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[h({\theta }^T{x}^{(i)})-y^{(i)}]\ast x_j^{(i)}$$
\qquad 当迭代到一定次数或学习曲线小于某个阈值时，停止迭代。

4.4 损失函数/代价函数/目标函数

• 损失函数：Loss Function，直接作用于单个样本，用来表达样本的误差
• 代价函数：Cost Function，整个样本集的平均误差，对所有损失函数的平均
  • 经过上面公式的推导可知，一个好的代价函数需要满足两个基本的要求：能评价模型的准确性，对参数$\theta$可微
• 目标函数：Object Function，是我们最终要优化的函数

5. 最优化问题

• 按照章节4中的推导，我们的目标就是最小化损失函数
  $$minJ(\theta )=-\frac{1}{n}\left[\sum _{i=1}^n{y}^{(i)}ln[h_{\theta }(x^{(i)})]+(1-y^{(i)})ln[1-h_{\theta }(x^{(i)})]\right]$$

• 通过梯度下降法求解，参数迭代公式

$${\theta }_j^{(k+1)}={\theta }_j^{(k)}-\alpha \ast \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[h({\theta }^T{x}^{(i)})-y^{(i)}]\ast x_j^{(i)}$$

6. sigmoid和softmax

• sigmoid用于二分类问题
• softmax用于多分类问题, softmax函数的定义
  $$softmax(z_i)=\frac{exp(z_i)}{{\sum }_{j=1}^{K}exp(z_j)},1\le i\le K$$
• 与 sigmoid 一样，softmax 也具有将异常值压向 0 或 1 的特性
• 多分类问题使用softmax, 使用sigmoid通过One_vs_Rest为每个类别训练一个LR模型也能达成多分类目的

7. LR模型的性质和优缺点

7.1 逻辑回归与线性回归的联系与区别

• 区别

  • 线性回归假设因变量(回归结果)服从正态分布，逻辑回归假设因变量(分类结果)服从伯努利分布(0-1分布，二项分布)
  • 线性回归的损失函数是均方差MSE，而逻辑回归的损失函数是似然函数(最大化)/对数损失函数(最小化)
  • 线性回归要求自变量和因变量呈线性关系，而逻辑回归没有要求
  • 线性回归分析的是因变量与自变量的关系，逻辑回归无法表达变量之间的关系，辑回归研究的是因变量取值的概率与自变量的概率
  • 线性回归处理的是回归问题，逻辑回归处理的是分类问题
  • 线性回归要求自变量是连续数值变量，逻辑回归要求因变量是离散的变量
  • 线性回归取值范围实数域，逻辑回归取值范围0-1

• 联系

  • 两个都是线性模型。线性回归是普通线性模型，逻辑回归是广义线性模型
  • 表达形式上，逻辑回归是线性回归的结果套上一个sigmoid函数

7.2 逻辑回归的优缺点

• 优点

  • 无需假设数据分布，直接对分类的可能性建模，避免对数据分布假设不准确带来的问题
  • 不仅能预测出类别，还能得到类别的概率，输出值在0-1之间，有概率意义
  • 对率函数是任意阶可导的凸函数，可直接用于求解最优解
  • 原理简单，模型清晰，操作高效，容易使用和解释，计算代价低，速度很快，存储资源低
  • 可进行在线算法实现，用较小资源处理较大数据
  • 对数据中小噪声鲁棒性好
  • 结果是概率，可用作排序模型
  • 求出来的参数代表每个特征对输出的影响，可解释性强
  • 解决过拟合方法很多，如L1/L2正则化，L2正则化可以解决多重共线性问题

• 缺点

  • 对数据依赖强，很多时候需要做特征工程
  • 主要用来解决线性可分问题，对于非线性特征需要进行转换
  • 由于它是一个线性的分类器，处理不好特征相关的情况。比如两个高度相关特征放入模型，可能导致较弱自变量的符号不符合预期，符号相反
  • 从sigmoid函数也能看出，在两端的变化率微乎其微，导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度，很难确定阈值
  • 容易欠拟合，分类精度不高
  • 数据特征有缺失或者特征空间很大时效果不好，不能很好处理大量多类特征或变量

8. LR模型实例

8.1 sklearn导入LR模型实现鸢尾花分类

• 代码

  # 1. 导入包
  import pandas as pd
  import matplotlib.pyplot as plt
  import seaborn as sns
  
  # 2. 导入数据
  from sklearn.datasets import load_iris  # sklearn中自带的iris数据
  data = load_iris()          #得到数据特征
  iris_target = data.target   #得到数据对应的标签
  iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式
  
  # 3. 查看数据信息
  iris_features.info()        # 利用.info()查看数据的整体信息
  iris_features.describe()    # 对于特征进行一些统计描述
  
  # 4. 数据可视化
  iris_all = iris_features.copy()     # 进行浅拷贝，防止对于原始数据的修改
  iris_all['target'] = iris_target    # 合并标签和特征信息
  
  # 特征与标签组合的散点可视化
  sns.pairplot(data=iris_all, diag_kind='hist', hue='target')
  plt.show()
  
  # 箱线图: 显示数据的中心和散布范围, 中位数和离群值
  for col in iris_features.columns:
      sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5, palette='pastel', data=iris_all)
      plt.title(col)
      plt.show()
  
  # 5. 模型训练与预测
  from sklearn.model_selection import train_test_split
  from sklearn import metrics
  from sklearn.linear_model import LogisticRegression # 从sklearn中导入逻辑回归模型
  
  ## 选择其类别为0和1的样本（不包括类别为2的样本）
  iris_features_part = iris_features.iloc[:100]
  iris_target_part = iris_target[:100]
  
  ## 训练集:测试集 = 7:3
  x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, test_size=0.3, random_state=2020)
  
  ## 定义逻辑回归模型: lbfgs为算法内部定义的优化方法,类似optimizer
  clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
  clf.fit(x_train, y_train)
  
  ## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
  train_predict = clf.predict(x_train)
  test_predict = clf.predict(x_test)
  
  # 6. 模型评估
  ## 利用accuracy【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
  print('The train-accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_train, train_predict))
  print('The test-accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_test, test_predict))
  
  ## 查看混淆矩阵
  confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict, y_test)
  print('The confusion matrix result:\n', confusion_matrix_result)
  

• 补充1：数据可视化
  

• 补充2：箱线图反映数据的分布, 中位数和离群值, 如sepal宽度的箱线图, 用于连续变量的数据分布. 点为离群值, 中心线偏上或偏下,表示数据分布是偏态的

• 补充3：训练结果, 用acc来评估模型效果, 打印混淆矩阵
  
• 补充4：逻辑回归使用.fit方法而不是epochs来训练模型
  • 使用.fit方法训练模型,这个方法会接收输入和输出矩阵,使用内部定义的优化方法来找到最佳参数,以最小化损失函数
  • 不使用epochs进行训练,epoch是深度学习中的概念,传统机器学习中使用.fit来进行拟合
  • 也就是说在神经网络中通常不会用单层线性网络Linear来实现逻辑回归, 因为逻辑回归本身就是一个简单的线性模型加上一个sigmoid激活函数来将输出映射到0~1之间, 可以被视为一个简单的神经网络

接下来就用单层线性网络加sigmoid激活函数来实现逻辑回归

8.2 单层线性网络实现LR的鸢尾花分类

• 代码

  # 1. 导入包
  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  from io import BytesIO
  import torch
  
  # 2. 数据集获取与划分
  ds = np.lib.DataSource()
  fp = ds.open('http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data')
  
  ## 从文本文件中加载数据,使用','做分隔符
  x = np.genfromtxt(BytesIO(fp.read().encode()), delimiter=',', usecols=range(2), max_rows=100)
  y = np.zeros(100)
  y[50:] = 1  # 一半为1一半为0
  
  ## 数据打乱后手动划分训练集和测试集7:3, 可以使用 sklearn.model_selection.train_test_split
  np.random.seed(1)
  idx = np.arange(y.shape[0])
  np.random.shuffle(idx)
  X_test, y_test = x[idx[:30]], y[idx[:30]]
  X_train, y_train = x[idx[30:]], y[idx[30:]]
  
  ## 数据手动标准化, 可以使用sklearn.preprocessing.StandardScaler
  mu, std = np.mean(X_train, axis=0), np.std(X_train, axis=0)
  X_train, X_test = (X_train - mu) / std, (X_test - mu) / std
  
  # 3. 数据可视化
  fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 2.5))
  ax[0].scatter(X_train[y_train == 1, 0], X_train[y_train == 1, 1])
  ax[0].scatter(X_train[y_train == 0, 0], X_train[y_train == 0, 1])
  ax[1].scatter(X_test[y_test == 1, 0], X_test[y_test == 1, 1])
  ax[1].scatter(X_test[y_test == 0, 0], X_test[y_test == 0, 1])
  plt.show()
  
  # 4. 模型定义
  class LogisticRegression(torch.nn.Module):
  
      def __init__(self, num_features):
          super(LogisticRegression, self).__init__()  # 调用父类的构造函数
          self.linear = torch.nn.Linear(num_features, 1)  # 输入维度num_features, 输出维度1
  
          self.linear.weight.detach().zero_()     # 权值 初始化为0
          self.linear.bias.detach().zero_()       # 偏置 初始化为0
  
      def forward(self, x):
          logits = self.linear(x)
          prob = torch.sigmoid(logits)            # 线性回归的输出经过sigmoid函数得到概率
          return prob
  
  # 4. 模型初始化
  device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
  model = LogisticRegression(num_features=2).to(device)
  cost_fn = torch.nn.BCELoss(reduction='sum')
  optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)
  
  ## 概率值转换为label, 分类阈值为0.5
  def prob_to_label(cond, x_1, x_2):
      return (cond * x_1) + ((1 - cond) * x_2)
  
  ## 计算准确率acc
  def compute_accuracy(label_var, pred_prob):
      pred_labels = prob_to_label((pred_prob > 0.5).float(), 1, 0).view(-1)
      acc = torch.sum(pred_labels == label_var.view(-1)).float() / label_var.size(0)
      return acc
  
  # 5. 模型训练
  num_epochs = 10 # 10轮训练
  
  X_train_tensor = torch.tensor(X_train, dtype=torch.float32, device=device)
  y_train_tensor = torch.tensor(y_train, dtype=torch.float32, device=device).view(-1, 1)
  
  for epoch in range(num_epochs):
      #### Compute outputs ####
      out = model(X_train_tensor)
  
      #### Compute gradients ####
      cost = cost_fn(out, y_train_tensor)
      optimizer.zero_grad()
      cost.backward()
  
      #### Update weights ####
      optimizer.step()
  
      #### Logging ####
      pred_prob = model(X_train_tensor)
      acc = compute_accuracy(y_train_tensor, pred_prob)
      print('Epoch: %03d' % (epoch + 1), end="")
      print(' | Train ACC: %.3f' % acc, end="")
      print(' | Cost: %.3f' % cost_fn(pred_prob, y_train_tensor))
  
  print('\nModel parameters:')
  print(' Weights: %s' % model.linear.weight)
  print(' Bias: %s' % model.linear.bias)
  
  # 6. 模型评估
  X_test_tensor = torch.tensor(X_test, dtype=torch.float32, device=device)
  y_test_tensor = torch.tensor(y_test, dtype=torch.float32, device=device)
  
  pred_prob = model(X_test_tensor)
  test_acc = compute_accuracy(y_test_tensor, pred_prob)
  
  print('Test set accuracy: %.2f%%' % (test_acc*100))
  

• 补充1：训练和测试数据的分布

• 补充2：得到的模型参数

  

9. 疑问厘清

• 逻辑回归假设的是结果服从伯努利分布，而不是每个特征服从伯努利分布
• 逻辑回归对特征的分布类型没有要求，模型学习的是输入特征与目标变量之间的关系，不对特征的具体分布做假设，可以是正太、泊松、均匀分布等等
• 逻辑回归假设的是样本之间独立同分布，而不是特征之间独立同分布
  • 特征之间可能是高度相关的，当然这可能会导致模型性能下降或不稳定
  • 假设所有样本都是从相同概率分布中抽取，意味着训练集和测试集都来自相同分布，这也是模型能够泛化的原因。所以独立同分布指的是样本的独立同分布
• 高度相关的特征对LR模型有影响，怎么处理：
  • 移除一个特征或合并特征：两个特征高度相关，它们可能为模型提供相似信息。合并特征指的是取平均/加权平均/最大最小值等组合
  • 使用正则化：正则化可以惩罚高度相关的特征的权重，有助于降低多重共线性对模型的影响
  • PCA降维：将原始特征转换为一系列线性不相关的主成分，从而消除多重共线性的影响
  • 应用特征选择算法：如之前文章介绍，可以使用递归特征消除法等帮助识别并移除无关或冗余特征，包括与其他特征高度相关的特征

 

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[参考文章]
[1]. 为什么要引入逻辑回归
[2]. LR模型简介
[3]. 公式推导主要参考
[4]. 损失函数的理解
[5]. 损失函数的直观理解
[6]. LR公式画图
[7]. 伯努利分布假设和损失函数推导
[8]. LR应用实例
[9]. 箱线图
[10]. 鸢尾花LR分类实例
[11]. 鸢尾花LR模型分类实践

created by shuaixio, 2024.05.28