一. 排序的概念及分类

1.1 排序的概念

排序，就是使一串数据，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

1.2 常见的排序算法

图1.1按照排序算法的思想，将排序分为四大类：插入排序、选择排序、交换排序、归并排序。本文对插入排序的实现思想和代码进行了详细解读，插入排序包括：直接插入排序和希尔排序。

二. 直接插入排序

前置说明：本文中的排序算法均以排升序为例进行讲解实现。

2.1 直接插入排序的实现逻辑

学习直接插入排序的实现逻辑，首先要学习单趟直接插入排序的实现。即：给定一组数据集arr（已经按要求被排序）和一个待插入的数据x，要将x插入到数据集中，x插入到数据中后，要求新的数组集中的数据按照升序（降序）排列。如：

数据集arr = {1, 3, 5, 6, 6, 8, 10, 12}，待插入的数据x = 7。
x插入后的数据集后：arr = {1, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 12}

直接插入排序的单趟实现逻辑：

找到数据集中最后一个小于或等于x的数据：从数据集中最后一个数据开始与x进行比较，如果大于x，则将数据集中的这个数据后移一位，当找到比x小的数据或者发现数据集中的所有数据都大于x时停止查找。
在数据集中插入x：在第一个小于或等于x的数据后面插入x，如果数据集中所有数据都大于x则是在首元素位置插入x。至此，直接插入排序单趟实现完成。

明确直接插入排序的单趟实现逻辑后，再将其延伸到对一组数据进行排序。假设给定一个有n个数据的数据arr[n]，首先将第一个数据单独视为有序序列，将第二个数据插入有序序列，然后将数组的前两个数据视为有序序列，将第三个数据插入，以此类推，最后将数组中前n-1个数据视为有序序列，将第n个数据插入。如：

对arr[5] = {5, 4, 3, 2, 1}进行升序排列
STEP1：将5单独视为有序序列，插入4，此时arr[5] = {4, 5, 3, 2, 1}。
STEP2：将4、5视为有序序列，插入3，此时arr[5] = {3, 4, 5, 2, 1}。
STEP3：将3、4、5视为有序序列，插入2，此时arr[5] = {2, 3, 4, 5, 1}。
STEP4：将2、3、4、5视为有序序列，插入1，此时arr[5] = {1, 2, 3, 4, 5}，排序完成。

2.2 直接插入排序的实现代码

typedef int DataType;  //待排序数据的类型

#include<stdio.h>

//直接插入排序函数
//a为指向存储待排序数组首元素的指针，n为待排序数据的个数
void InsertSort(DataType* a, int n)
{
	int i = 0; //循环参数
	for (i = 0; i < n - 1; ++i)
	{
		int end = i;  //已经排好序的数据的最大元素的下标
		DataType x = a[end + 1];  //要插入的数据

		while (end >= 0)
		{
			//如果已排序的数据大于待插入数据x，则将已排序的数据后移
			//找到最靠后的小于或等于x的数据
			if (a[end] > x)
			{
				a[end + 1] = a[end];
				--end;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}

		//此时end为-1或第一个小于等于x的数据的下标
		a[end + 1] = x;
	}
}

2.3 直接插入排序的时间复杂度分析

当待排序数据逆序时，直接插入排序所需要进行的操作次数最多
对n个数据采用直接插入法进行排序，所需要进行的单趟插入次数为n-1次，在每次单趟插入中，如果有序序列中的数据大于待插入数据，有序序列中的对应数据向后移动，假设有序序列中有m个数据，每次单趟插入最多进行移动操作m次（有序序列中所有数据都大于待插入数据）。
综上，完成一次直接插入排序最多进行的操作次数为： $F(N)=\frac{1}{2}N^2-\frac{1}{2}N$ ，根据大O渐进法规则，直接插入排序的时间复杂度为 $O(N)$ 。

三. 希尔排序

3.1 希尔排序的实现逻辑

希尔排序是在直接插入排序的的基础上进行优化得来的，其基本实现逻辑为

将待排序数据分为gap组，先将每组数据进行预排序，使每组数据在预排序后都是升序或降序序列。
不断变化gap的值，一般来说，第一次分组取gap=n/2，n为待排序数据的个数，每次分组排序完成之后，采用gap /= 2对gap进行更新。
gap最终会变为1，此时数组中的数据已经非常接近有序，这是再对数据采用直接插入排序的方法进行排序，消耗大大减少。gap=1时，分组排序等价于直接插入排序。

综上：希尔排序就是先对数据进行分组预排序，使数据接近于有序，然后采用直接插入排序的方法对这组接近于有序的数据进行排序，以此来达到减少时间消耗的目的。

3.2 希尔排序实现代码

void ShellSort(int* a, int n)
{
	assert(a);

	int i = 0;  //循环参数，表示每组首元素下标
	int j = 0;  //循环参数，表示每组元素中数据的下标

	int gap = n;  //分组间距

	while (gap > 1)  //不断缩小排序间距，最终gap = 1相当于直接插入排序
	{
		gap /= 2;

		for (i = 0; i < gap; ++i)
		{
			//分组排序
			//每组中的相邻数据在数组中的下标相差gap
			for (j = i; j < n - gap; j += gap)
			{
				int end = j;  //已排序的最后一个数据下标
				int x = a[end + gap];  //待插入排序的数据

				while (end >= 0)
				{
					if (a[end] > x)  //数据大于x就后移
					{
						a[end + gap] = a[end];
						end -= gap;
					}
					else
					{
						break;
					}
				}

				a[end + gap] = x;  //插入x
			}
		}
	}
}

3.3 希尔排序的效率测试

演示代码3.3通过rand函数随机生成100000个整型数据，分别采用直接插入排序和希尔排序对这100000个数据进行排序，通过clock函数，分别记程序运行到100000个随机数生成结束、直接插入排序结束和希尔排序结束的运行时间为end1、end2、end3。这样，end2 - end1的结果就是直接插入排序的运行时间（ms），end3 - end2的结果就是希尔排序的运行时间（ms）。

演示代码3.3：（测试希尔排序效率）

int main()
{
	int n = 100000;
	int* a1 = (int*)malloc(n * sizeof(int));   //数据集1（用于直接插入排序）
	if (a1 == NULL)
	{
		return 1;
	}

	int* a2 = (int*)malloc(n * sizeof(int));   //数据集2（用于希尔排序）
	if (a2 == NULL)
	{
		return 2;
	}

	srand((unsigned int)time(NULL));

	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		a1[i] = rand() / 1000;
		a2[i] = a1[i];
	}

	int end1 = clock();  //程序运行到生成100000个随机数消耗的时间(ms)

	InsertSort(a1, n);   //直接插入排序
	int end2 = clock();  //程序运行到直接插入排序结束消耗的时间（ms）

	ShellSort(a2, n);  //希尔排序
	int end3 = clock();  //程序运行到希尔排序结束消耗的时间（ms）

	printf("直接插入排序消耗时间：%d\n", end2 - end1);
	printf("希尔排序消耗的时间：%d\n", end3 - end2);

	return 0;
}