文章目录
- 极限计算
- 求导计算
极限计算
第一步
:
先看
x
→
v
a
l
u
e
确定类型
第一步:先看x \rightarrow value确定类型
第一步:先看x→value确定类型
7
种未定型
:
∞
∞
,
0
0
,
1
∞
,
0
∞
,
∞
0
,
0
0
,
∞
−
∞
7种未定型: \frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0},1^{\infty},0^{\infty},\infty^0,0^0,\infty-\infty
7种未定型:∞∞,00,1∞,0∞,∞0,00,∞−∞
原则: f ( x ) x k , k 已知上下同阶, k 未知泰勒展开到无法抵消 原则:\frac{f(x)}{x^k},k已知上下同阶,k未知泰勒展开到无法抵消 原则:xkf(x),k已知上下同阶,k未知泰勒展开到无法抵消
1.
1.
1.
等价代换
:
t
=
1
x
等价代换: t=\frac{1}{x}
等价代换:t=x1
非零因子
(
包括
L
′
过程中每次检查能否提出
)
非零因子(包括L'过程中每次检查能否提出)
非零因子(包括L′过程中每次检查能否提出)
有理化
(
分子分母同乘除其他或
x
n
[
去除根号或凑等价无穷小
]
)
有理化(分子分母同乘除其他或x^n [去除根号 或 凑等价无穷小]) \\~
有理化(分子分母同乘除其他或xn[去除根号或凑等价无穷小])
(
x
x
)
x
′
=
(
e
x
l
n
x
)
x
′
=
e
x
l
n
x
(
l
n
x
+
1
)
=
x
x
(
l
n
x
+
1
)
(x^x)'_x=(e^{xlnx})'_x=e^{xlnx}(lnx+1)=x^x(lnx+1)\\~\\~
(xx)x′=(exlnx)x′=exlnx(lnx+1)=xx(lnx+1)
2.
2.
2.
极限类型
1
∞
=
e
A
极限类型1^\infty=e^A \\~
极限类型1∞=eA
计算题没有
1
:
计算题没有1:\\~
计算题没有1:
lim
x
→
□
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
□
(
1
+
(
f
(
x
)
−
1
)
)
g
(
x
)
\lim\limits_{x \to □}f(x)^{g(x)}=\lim\limits_{x \to □}(1+(f(x)-1))^{g(x)}\\~
x→□limf(x)g(x)=x→□lim(1+(f(x)−1))g(x)
A
=
lim
x
→
□
(
f
(
x
)
−
1
)
g
(
x
)
A=\lim\limits_{x \to □}(f(x)-1)g(x)\\~
A=x→□lim(f(x)−1)g(x)
原极限
=
e
A
=
e
lim
x
→
□
(
f
(
x
)
−
1
)
g
(
x
)
原极限=e^A=e^{\lim\limits_{x \to □}(f(x)-1)g(x)}\\~\\~
原极限=eA=ex→□lim(f(x)−1)g(x)
3.
3.
3.
系数
a
相同,极限类型
1
∞
则
:
系数a相同,极限类型1^\infty则:\\~
系数a相同,极限类型1∞则:
lim
x
→
∞
=
(
a
x
+
b
a
x
+
c
)
h
x
+
k
=
e
(
b
−
c
)
h
a
\lim\limits_{x\to \infty}=(\frac{ax+b}{ax+c})^{hx+k}=e^{\frac{(b-c)h}{a}}\\~
x→∞lim=(ax+cax+b)hx+k=ea(b−c)h
看到极限次幂大小为
∞
,基本确定为
1
∞
型
看到极限次幂大小为\infty,基本确定为1^\infty型
看到极限次幂大小为∞,基本确定为1∞型
出现 e 1 x 或 ∣ x ∣ 因子考虑左右极限 出现e^{\frac{1}{x}}或|x|因子考虑左右极限 出现ex1或∣x∣因子考虑左右极限
扩技巧: a r c t a n x + a r c t a n 1 x = π 2 ( 证明 f ′ ( x ) = 0 , 说明 f ( x ) = c , 带入 0 得 π 2 , x ∈ R ) a r c s i n x + a r c c o s x = π 2 → a r c s i n x − π 2 = − a r c c o s x \\~\\~ 扩技巧:\\~ arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} ~~(证明f'(x)=0,说明f(x)=c,带入0得\frac{\pi}{2},x \in \small{R}~ ) \\~\\~ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2} \rightarrow arcsinx - \frac{\pi}{2}=-arccosx \\~ 扩技巧: arctanx+arctanx1=2π (证明f′(x)=0,说明f(x)=c,带入0得2π,x∈R ) arcsinx+arccosx=2π→arcsinx−2π=−arccosx
lim n → ∞ 或 0 为数列极限【不连续】此时不能 L ′ ,也不能 T a y l o r ,若要使用则需先令 x = n 转换为函数极限 \lim\limits_{n \rightarrow \infty 或0} 为数列极限【不连续】此时不能L',也不能Taylor,若要使用则需先令x=n转换为函数极限 n→∞或0lim为数列极限【不连续】此时不能L′,也不能Taylor,若要使用则需先令x=n转换为函数极限
易错或典例
1
−
1
+
x
=
1
−
(
1
+
−
1
2
x
+
o
(
x
)
)
∼
−
1
2
x
\\~\\~\\~\\ 易错或典例 \\~ 1-\sqrt{1+x} = 1-(1+-\frac{1}{2}x+o(x)) \sim -\frac{1}{2}x \\~
易错或典例 1−1+x=1−(1+−21x+o(x))∼−21x
lim
x
→
∞
1
2
x
极限不存在,
lim
x
→
−
∞
1
2
x
(
不存在
)
≠
lim
x
→
−
∞
1
2
x
(
值为
0
)
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{2^x}极限不存在,\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{2^x} (不存在)\neq \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{2^x}(值为0)\\~
x→∞lim2x1极限不存在,x→−∞lim2x1(不存在)=x→−∞lim2x1(值为0)
左极限 ≠ 右极限: e x , a r c t a n x lim x → + ∞ e x = + ∞ , lim x → − ∞ e x = 0 lim x → + ∞ a r c t a n x = π 2 , lim x → − ∞ a r c t a n x = − π 2 左极限\ne 右极限:e^x, arctanx \\ \lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty,\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}arctanx=\frac{\pi}{2} ,\lim\limits_{x \to -\infty}arctanx=-\frac{\pi}{2} \\~ 左极限=右极限:ex,arctanxx→+∞limex=+∞,x→−∞limex=0x→+∞limarctanx=2π,x→−∞limarctanx=−2π
lim
x
→
∞
x
−
s
i
n
x
x
+
s
i
n
x
不能
L
′
(
求导后极限不存在
)
,
上下同除
x
,得极限为
1
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x-sinx}{x+sinx}不能L'(求导后极限不存在),上下同除x,得极限为1\\~
x→∞limx+sinxx−sinx不能L′(求导后极限不存在),上下同除x,得极限为1
lim
x
→
∞
x
2
−
l
n
(
1
+
1
x
)
类型为
∞
−
∞
,
看到
1
x
固定倒代换
t
=
1
x
\lim\limits_{x \to \infty} x^2-ln(1+\frac{1}{x}) 类型为\infty-\infty,看到\frac{1}{x}固定倒代换t=\frac{1}{x}\\~
x→∞limx2−ln(1+x1)类型为∞−∞,看到x1固定倒代换t=x1
拆分: + 1 − 1 , + x − x , + c o s x − c o s x , 拆分成两部分求极限 拆分:+1-1,+x-x,+\sqrt{cosx}-\sqrt{cosx},拆分成两部分求极限\\~ 拆分:+1−1,+x−x,+cosx−cosx,拆分成两部分求极限
数列极限 lim n → ∞ ( n − l n n n + l n n ) n l n n = lim n → ∞ ( 1 − l n n n 1 + l n n n ) n l n n = 1 , 只要次幂部分为 ∞ ,可判断为 1 ∞ 数列极限\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n-lnn}{n+lnn})^\frac{n}{lnn}=\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1-\frac{lnn}{n}}{1+ \frac{lnn}{n}})^\frac{n}{lnn}=1, 只要次幂部分为\infty,可判断为1^\infty \\~\\~ 数列极限n→∞lim(n+lnnn−lnn)lnnn=n→∞lim(1+nlnn1−nlnn)lnnn=1,只要次幂部分为∞,可判断为1∞
lim
x
→
∞
x
6
+
x
5
6
−
x
6
−
x
5
6
需
t
=
1
x
替换后才可以使用泰勒公式
原式
=
lim
t
→
0
+
(
1
t
6
+
1
t
5
)
1
6
−
(
1
t
6
−
1
t
5
)
1
6
=
lim
t
→
0
+
(
1
+
t
)
1
6
−
(
1
−
t
)
1
6
t
=
lim
t
→
0
+
=
lim
t
→
0
+
1
3
t
+
o
(
t
)
t
=
1
3
(
偶数次幂
0
+
[
非重点
,
写
t
→
0
也行
]
【
T
的使用前提】
)
\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}~需t=\frac{1}{x}替换后才可以使用泰勒公式\\~ 原式=\lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}=\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{3}t+o(t)}{t}=\frac{1}{3} \small(偶数次幂0^+[非重点,写t \to 0也行]【T的使用前提】)
x→∞lim6x6+x5−6x6−x5 需t=x1替换后才可以使用泰勒公式 原式=t→0+lim(t61+t51)61−(t61−t51)61=t→0+limt(1+t)61−(1−t)61=t→0+lim=t→0+limt31t+o(t)=31(偶数次幂0+[非重点,写t→0也行]【T的使用前提】)
此题也可直接等价无穷小:原式
=
lim
t
→
0
+
(
1
t
6
+
1
t
5
)
1
6
−
(
1
t
6
−
1
t
5
)
1
6
=
lim
t
→
0
+
(
1
+
t
)
1
6
−
(
1
−
t
)
1
6
t
=
lim
t
→
0
+
(
1
+
t
)
1
6
−
1
+
1
−
(
1
−
t
)
1
6
t
=
lim
t
→
0
+
(
1
+
t
)
1
6
−
1
t
+
lim
t
→
0
+
1
−
(
1
−
t
)
1
6
t
=
1
6
+
1
6
=
1
3
负负得正
此题也可直接等价无穷小:原式=\lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-1+1-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-1}{t}+\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{1-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}~负负得正\\~
此题也可直接等价无穷小:原式=t→0+lim(t61+t51)61−(t61−t51)61=t→0+limt(1+t)61−(1−t)61=t→0+limt(1+t)61−1+1−(1−t)61=t→0+limt(1+t)61−1+t→0+limt1−(1−t)61=61+61=31 负负得正
a x ∼ a x l n a 类似 e x 的泰勒公式,但是一般不用,而是用 L ′ ( 看条件 ) a^x \sim a^xlna类似e^x的泰勒公式,但是一般不用,而是用L'(看条件) ax∼axlna类似ex的泰勒公式,但是一般不用,而是用L′(看条件)
lim x → 0 s i n x ( s i n x ) = lim x → 0 s i n x − 1 6 s i n 3 x . . . = lim x → 0 ( x − 1 6 x 3 + o ( x 3 ) ) − 1 6 ( x − 1 6 x 3 + o ( x 3 ) ) 3 + o ( x 3 ) = lim x → 0 x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) \lim\limits_{x \to 0}sinx(sinx)=\lim\limits_{x \to 0}sinx-\frac{1}{6}sin^3x... =\lim\limits_{x \to 0}(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))-\frac{1}{6}(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))^3+o(x^3) \\~ =\lim\limits_{x \to 0}x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3) x→0limsinx(sinx)=x→0limsinx−61sin3x...=x→0lim(x−61x3+o(x3))−61(x−61x3+o(x3))3+o(x3) =x→0limx−31x3+o(x3)
lim x → 0 t a n ( t a n x ) = lim x → 0 t a n x + 1 3 t a n 3 x + . . . = lim x → 0 ( x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) + 1 3 ( x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) 3 + o ( x 3 ) = x + 2 3 x 3 + o ( x 3 ) \lim\limits_{x \to 0}tan(tanx)=\lim\limits_{x \to 0}tanx+\frac{1}{3}tan^3x+... =\lim\limits_{x \to 0}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))+\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^3+o(x^3) \\~ =x+\frac{2}{3}x^3+o(x^3) x→0limtan(tanx)=x→0limtanx+31tan3x+...=x→0lim(x+31x3+o(x3))+31(x+31x3+o(x3))3+o(x3) =x+32x3+o(x3)
推出: t a n ( t a n x ) − s i n x ( s i n x ) = x 3 + o ( x 3 ) 推出:tan(tanx)-sinx(sinx)=x^3+o(x^3) 推出:tan(tanx)−sinx(sinx)=x3+o(x3)
另一种做法 : lim x → 0 t a n ( t a n x ) − s i n x ( s i n x ) = lim x → 0 ( t a n ( t a n x ) − t a n x ) + ( t a n x − s i n x ) + ( s i n x − s i n x ( s i n x ) ) = lim x → 0 ( 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ) + ( 1 2 x 3 + o ( x 3 ) ) + ( 1 6 x 3 + o ( x 3 ) ) = lim x → 0 x 3 + o ( x 3 ) 另一种做法:\lim\limits_{x \to 0}tan(tanx)-sinx(sinx)=\lim\limits_{x \to 0}(tan(tanx)-tanx)+(tanx-sinx)+(sinx-sinx(sinx)) \\~ =\lim\limits_{x \to 0}(\frac{1}{3}x^3+o(x^3))+(\frac{1}{2}x^3+o(x^3))+(\frac{1}{6}x^3+o(x^3))=\lim\limits_{x \to 0}x^3+o(x^3) 另一种做法:x→0limtan(tanx)−sinx(sinx)=x→0lim(tan(tanx)−tanx)+(tanx−sinx)+(sinx−sinx(sinx)) =x→0lim(31x3+o(x3))+(21x3+o(x3))+(61x3+o(x3))=x→0limx3+o(x3)
lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x − e x 的 ( 1 + x ) 1 x 部分不能用 e 等价替换, ( 在同一极限下,不能分次求极限 ) 原式 = lim x → 0 e l n ( 1 + x ) 1 x − e x = lim x → 0 e l n ( 1 + x ) 1 x − e x [ 用公式 e f ( x ) − e g ( x ) , 提取 e g ( x ) ] = e lim x → 0 e ( 1 x l n ( 1 + x ) − 1 ) − 1 x = e lim x → 0 1 x l n ( 1 + x ) − 1 x [ T a y l o r ] = e lim x → 0 l n ( 1 + x ) − x x 2 = e lim x → 0 − 1 2 x 2 x 2 = − 1 2 e \lim\limits_{x \to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}的(1+x)^{\frac{1}{x}}部分不能用e等价替换,(在同一极限下,不能分次求极限) \\ 原式=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e}{x} [用公式e^{f(x)}-e^{g(x)},提取e^{g(x)}]~\\=e \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{(\frac{1}{x}ln(1+x)-1)}-1}{x}=e \lim\limits_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}ln(1+x)-1}{x} [Taylor] =e\lim\limits_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}= e\lim\limits_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}e \\~ x→0limx(1+x)x1−e的(1+x)x1部分不能用e等价替换,(在同一极限下,不能分次求极限)原式=x→0limxeln(1+x)x1−e=x→0limxeln(1+x)x1−e[用公式ef(x)−eg(x),提取eg(x)] =ex→0limxe(x1ln(1+x)−1)−1=ex→0limxx1ln(1+x)−1[Taylor]=ex→0limx2ln(1+x)−x=ex→0limx2−21x2=−21e
lim x → + ∞ ( 2 π a r c t a n x − 1 ) x = lim x → + ∞ 2 π ( a r c t a n x − π 2 ) x = 2 π lim x → + ∞ ( − a r c t a n 1 x ) x [ 记技巧 ] = − 2 π \lim\limits_{x \to +\infty}(\frac{2}{\pi}arctanx-1)x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{2}{\pi}(arctanx-\frac{\pi}{2})x=\frac{2}{\pi}\lim\limits_{x \to +\infty}(-arctan\frac{1}{x})x[记技巧]=-\frac{2}{\pi}\\~ x→+∞lim(π2arctanx−1)x=x→+∞limπ2(arctanx−2π)x=π2x→+∞lim(−arctanx1)x[记技巧]=−π2
lim n → ∞ ( a n + b n 2 ) n = lim x → ∞ ( a x + b x 2 ) x [ 函数极限才可泰特 ] 由 1 ∞ = e A , A = lim x → ∞ ( a x + b x 2 − 1 ) x = 不能 [ lim x → ∞ ( ( 1 + a − 1 ) 1 x + ( 1 + b − 1 ) 1 x − 2 2 ) x ( a − 1 , b − 1 不能确定无穷小,不能 T ,用 L ′ ) ] 正解: [ 令 t = 1 x ] = lim t → 0 a t + b t − 2 2 t = [ L ′ ] lim t → 0 a t l n a + b t l n b 2 = l n a b 2 = 1 2 l n a b = l n a b 原式 = e A = e l n a b = a b \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2})^n= \lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x [函数极限才可泰特] \\由1^\infty=e^A,A= \lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2}-1)x=不能[~\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{(1+a-1)^{\frac{1}{x}}+(1+b-1)^{\frac{1}{x}}-2}{2})x~~(a-1,b-1不能确定无穷小,不能T,用L')] \\ 正解:[令t=\frac{1}{x}]=\lim\limits_{t \to 0}\frac{a^t+b^t-2}{2t}=[L']\lim\limits_{t \to 0}\frac{a^tlna+b^tlnb}{2}=\frac{lnab}{2}=\frac{1}{2}lnab=ln \sqrt{ab} \\原式=e^A=e^{ln \sqrt{ab}}= \sqrt{ab} \\~ n→∞lim(2na+nb)n=x→∞lim(2xa+xb)x[函数极限才可泰特]由1∞=eA,A=x→∞lim(2xa+xb−1)x=不能[ x→∞lim(2(1+a−1)x1+(1+b−1)x1−2)x (a−1,b−1不能确定无穷小,不能T,用L′)]正解:[令t=x1]=t→0lim2tat+bt−2=[L′]t→0lim2atlna+btlnb=2lnab=21lnab=lnab原式=eA=elnab=ab
\\~ \\ \\~
总结: 7 种未定型解法: 1 ∞ = e A = e lim x → □ f ( x ) 0 ∗ ∞ 把求导更难的放分子,其余放分母,再 L ′ 0 0 用 L ′ , T ∞ ∞ 用 L ′ , T , 看最高次系数 ∞ − ∞ 通分 0 0 用 e l n 指数化 无穷小量 ∗ 有界量 = 0 区分左右极限: ①如 e x 要分左右极限分别计算 ( 图像左极限 ! = 右极限 ) ②分段函数 [ x ] 总结: \\~\\~ 7种未定型解法: \\~ 1^\infty =e^A=e^{\lim \limits_{x \to □}f(x)} \\~ 0*\infty~把求导更难的放分子,其余放分母,再L' \\~ \frac{0}{0} ~用L',T\\~ \frac{\infty}{\infty}~用L',T,\mathbf{}看最高次系数 \\~ \infty-\infty通分 \\~ 0^0用e^{ln指数化} \\~ 无穷小量*有界量=0 \\~ \\~ 区分左右极限: \\~ ①如e^x要分左右极限分别计算 ~~\small(图像左极限!=右极限)\\~ ②分段函数[x] \\~ 总结: 7种未定型解法: 1∞=eA=ex→□limf(x) 0∗∞ 把求导更难的放分子,其余放分母,再L′ 00 用L′,T ∞∞ 用L′,T,看最高次系数 ∞−∞通分 00用eln指数化 无穷小量∗有界量=0 区分左右极限: ①如ex要分左右极限分别计算 (图像左极限!=右极限) ②分段函数[x]
求导计算
1. 利用导数定义求导 : 1.利用导数定义求导: 1.利用导数定义求导:
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\~
f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limx−x0f(x)−f(x0)
复杂求导配合非零因子带入
,
拆分
复杂求导配合非零因子带入,拆分\\~
复杂求导配合非零因子带入,拆分
变型
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
−
Δ
x
)
−
f
(
x
)
−
Δ
x
变型f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x} \\~
变型f′(x0)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0lim−Δxf(x−Δx)−f(x)
当
x
−
x
0
=
Δ
x
无穷小时
,
导数值近似等于
x
=
x
0
处的斜率
当x-x_0=\Delta x 无穷小时,导数值近似等于x=x_0处的斜率
当x−x0=Δx无穷小时,导数值近似等于x=x0处的斜率
扩:
0
0
型极限,但没有说在
x
=
x
0
的去心领域内可导,只说在
x
=
x
0
这个点可导,
不能用
L
′
,
只能用导数定义求极限
(
导数定义公式本身就是求极限
)
扩:\frac{0}{0}型极限,但没有说在x=x_0的去心领域内可导,只说在x=x_0这个点可导,\\~ 不能用L',只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限)
扩:00型极限,但没有说在x=x0的去心领域内可导,只说在x=x0这个点可导, 不能用L′,只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限)
反之没有说只在
x
=
x
0
这个点可导,可
L
′
,
注意复合函数求导
反之没有说只在x=x_0这个点可导,可L',注意复合函数求导
反之没有说只在x=x0这个点可导,可L′,注意复合函数求导
分段函数求导 : 分段点只能用导数定义,分段区间用求导法则 分段函数求导:分段点只能用导数定义,分段区间用求导法则 分段函数求导:分段点只能用导数定义,分段区间用求导法则
∣
x
∣
在
x
=
0
连续但不可导
(
图像连续但不光滑
)
f
−
′
(
0
)
=
−
1
,
f
+
′
(
0
)
=
1
,
f
−
′
(
0
)
≠
−
1
,
f
+
′
(
0
)
即
∣
x
∣
在
x
=
0
不可导
|x|在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑) \\~ f'_-(0)=-1,f'_+(0)=1,f'_-(0)\ne-1,f'_+(0)即|x|在x=0不可导
∣x∣在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑) f−′(0)=−1,f+′(0)=1,f−′(0)=−1,f+′(0)即∣x∣在x=0不可导
`
2.
复合函数
f
(
u
)
,
u
=
f
(
z
)
,
z
=
f
(
x
)
→
(
f
(
u
)
)
′
=
f
′
(
u
)
u
z
′
z
x
′
=
f
′
(
u
)
f
′
(
z
)
f
′
(
x
)
判断复合:比如
s
i
n
1
x
,
基本求导公式只学过
s
i
n
x
,没有
s
i
n
1
x
,说明其为复合函数,用复合函数求导
2.复合函数 \\~ f(u),u=f(z),z=f(x) \to (f(u))'=f'(u)u'_zz'_x=f'(u)f'(z)f'(x) \\~ 判断复合:比如sin\frac{1}{x},基本求导公式只学过sinx,没有sin\frac{1}{x},说明其为复合函数,用复合函数求导
2.复合函数 f(u),u=f(z),z=f(x)→(f(u))′=f′(u)uz′zx′=f′(u)f′(z)f′(x) 判断复合:比如sinx1,基本求导公式只学过sinx,没有sinx1,说明其为复合函数,用复合函数求导
l n 1 − x 1 + x 2 = 1 2 [ l n ( 1 − x ) − l n ( 1 + x 2 ) ] ln \sqrt\frac{1-x}{1+x^2}=\frac{1}{2}[ln (1-x)-ln(1+x^2)] ln1+x21−x=21[ln(1−x)−ln(1+x2)]
l
n
(
x
+
x
2
±
a
2
)
=
1
x
2
±
a
2
ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})=\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}
ln(x+x2±a2)=x2±a21
积分:
∫
d
x
x
2
±
a
2
=
l
n
(
x
+
x
2
±
a
2
)
+
c
积分:\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})+c
积分:∫x2±a2dx=ln(x+x2±a2)+c
复合函数求导 . . . \\~\\~\\ 复合函数求导...\\~ 复合函数求导...
隐函数求导 : 隐函数求导: \\~ 隐函数求导:
由方程
F
(
x
,
y
)
=
0
,
确定
y
=
y
(
x
)
函数,求
d
y
d
x
方法
1
:两边同时对
x
求导,把
y
看成
x
的函数
由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数,求\frac{dy}{dx} \\~\\ 方法1:两边同时对x求导,把y看成x的函数 \\~
由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数,求dxdy 方法1:两边同时对x求导,把y看成x的函数
如
y
2
=
2
y
y
′
如~y^2=2yy'
如 y2=2yy′
参数方程求导: 一阶 y ′ = d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) y ′ ′ = d 2 y d x 2 = d ( y ′ ) d x = d ( y ′ ) d t d t d x = ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) t ′ 1 x ′ ( t ) ( 其中倒数计算 d t d x = 1 d x d t = 1 x ′ ( t ) ) 参数方程求导: \\ 一阶y'= \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)} \\ y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(y')}{dx}=\frac{d(y')}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{y'(t)}{x'(t)})'_t\frac{1}{x'(t)} \\~\\ (其中倒数计算 \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{x'(t)}) \\~ 参数方程求导:一阶y′=dxdy=x′(t)y′(t)y′′=dx2d2y=dxd(y′)=dtd(y′)dxdt=(x′(t)y′(t))t′x′(t)1 (其中倒数计算dxdt=dtdx1=x′(t)1)
例
:
1.
一阶求
y
′
{
x
=
s
i
n
t
y
=
c
o
s
2
t
例: \\~ 1.一阶求y' \\ \begin{cases} x=sint \\ y=cos2t \end{cases} \\~
例: 1.一阶求y′{x=sinty=cos2t
y
′
=
(
c
o
s
2
t
)
t
′
(
s
i
n
t
)
t
′
=
−
2
s
i
n
2
t
c
o
s
t
y'=\frac{(cos2t)'_t}{(sint)'_t}=\frac{-2sin2t}{cost} \\~
y′=(sint)t′(cos2t)t′=cost−2sin2t
2.
二阶求
y
′
′
{
x
=
t
2
2
y
=
1
−
t
\\~ 2.二阶求y'' \\ \begin{cases} x=\frac{t^2}{2} \\ y=1-t \\ \end{cases} \\~
2.二阶求y′′{x=2t2y=1−t
y
′
=
(
1
−
t
)
t
′
t
2
2
t
′
=
−
1
t
y
′
′
=
d
(
y
′
)
d
t
d
t
d
x
=
d
(
y
′
)
d
t
1
d
x
d
t
[
d
x
d
t
在计算
y
′
时已经算出,带入
d
x
d
t
和
y
′
]
=
(
−
1
t
)
t
′
(
1
t
)
=
t
−
2
(
1
t
)
=
t
−
3
y'=\frac{(1-t)'_t}{\frac{t^2}{2}'_t}=-\frac{1}{t} \\~\\ y''=\frac{d(y')}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{d(y')}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}} [\frac{dx}{dt}在计算y'时已经算出,带入\frac{dx}{dt}和y'] \\ = (-\frac{1}{t})'_t(\frac{1}{t})=t^{-2}(\frac{1}{t})=t^{-3} \\ \\~
y′=2t2t′(1−t)t′=−t1 y′′=dtd(y′)dxdt=dtd(y′)dtdx1[dtdx在计算y′时已经算出,带入dtdx和y′]=(−t1)t′(t1)=t−2(t1)=t−3
分段函数求导 : 连续: lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) 一元函数:可微 ⇔ 可导 ≠ 连续 ( 可导必连续,图像相连且光滑 ) 分段函数求导: \\ 连续:\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) \\ 一元函数:可微 \Leftrightarrow 可导 \ne 连续 (可导必连续,图像相连且光滑) \\~ 分段函数求导:连续:x→x0limf(x)=f(x0)一元函数:可微⇔可导=连续(可导必连续,图像相连且光滑)
例 : 讨论 y = e ∣ x ∣ 在 x = 0 的可导性 y = e ∣ x ∣ { e x x > 0 1 x = 0 e − x x < 0 例: \\~ 讨论y=e^{|x|}在x=0的可导性 \\ y=e^{|x|} \begin{cases} e^x ~ ~~~~~~~x>0 \\ 1 ~~~~~~~~~~x=0\\ e^{-x} ~~~~~~x<0 \end{cases} \\~ 例: 讨论y=e∣x∣在x=0的可导性y=e∣x∣⎩ ⎨ ⎧ex x>01 x=0e−x x<0
[
注:若
y
=
e
∣
x
∣
在
x
=
0
连续:
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
=
1
,
此处需
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
1
]
[注:若y=e^{|x|}在x=0连续:\lim\limits_{x \to 0}f(x)=f(x_0)=1~,此处需\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=1] \\~
[注:若y=e∣x∣在x=0连续:x→0limf(x)=f(x0)=1 ,此处需x→0−limf(x)=x→0+limf(x)=1]
[
注:若
y
=
e
∣
x
∣
在
x
=
0
可导:
f
+
′
(
0
)
=
f
−
′
(
0
)
]
[注:若y=e^{|x|}在x=0可导:f'_+(0)=f'_-(0)~] \\~
[注:若y=e∣x∣在x=0可导:f+′(0)=f−′(0) ]
f
+
′
(
0
)
=
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
−
f
(
0
)
x
−
0
=
lim
x
→
0
+
e
x
−
1
x
=
1
f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{x}=1
f+′(0)=x→0+limx−0f(x)−f(0)=x→0+limxex−1=1
f
−
′
(
0
)
=
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
−
f
(
0
)
x
−
0
=
lim
x
→
0
−
e
−
x
−
1
x
=
−
1
f'_-(0)= \lim\limits_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0^-}\frac{e^{-x-}1}{x}=-1 \\~
f−′(0)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limxe−x−1=−1
则
y
=
e
∣
x
∣
在
x
=
0
处不可导
(
f
′
(
0
)
不存在
)
则y=e^{|x|}在x=0处不可导(f'(0)不存在) \\~\\~\\~
则y=e∣x∣在x=0处不可导(f′(0)不存在)
问 f ( x ) 的不可导点的个数 ( 常规解法:左右极限是否相等 − 连续 且 极限 lim x → x 0 f ( x ) 是否等于函数值 f ( x 0 ) 记结论: 绝对值内外相等则可导 如 f ( x ) = ∣ x ∣ 在 x = 0 不可导 , 而 g ( x ) = x ∣ x ∣ 在 x = 0 可导 又如 x ( x + 1 ) x ( + 2 ) ∣ x ( x + 1 ) ∣ 在 x = 0 和 x = − 1 可导,在 x = − 2 不可导, 1 个不可导点 问f(x)的不可导点的个数\\ (常规解法:左右极限是否相等-连续~ 且 ~极限\lim\limits_{x \to x_0}f(x)是否等于函数值f(x_0) \\ 记结论: \\ 绝对值内外相等则可导 \\ 如f(x)=|x|在x=0不可导, 而g(x)=x|x| 在x=0可导 \\ 又如 ~x(x+1)x(+2)|x(x+1)|在x=0和x=-1可导,在x=-2不可导,1个不可导点\\ \\~ 问f(x)的不可导点的个数(常规解法:左右极限是否相等−连续 且 极限x→x0limf(x)是否等于函数值f(x0)记结论:绝对值内外相等则可导如f(x)=∣x∣在x=0不可导,而g(x)=x∣x∣在x=0可导又如 x(x+1)x(+2)∣x(x+1)∣在x=0和x=−1可导,在x=−2不可导,1个不可导点
变限积分求导 ! ! ! 微积分基本定理: f ( x ) 连续, F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t ∫ a b f ( x ) d x 可转化为 [ a , b ] 的图形面积 重要变型公式: ( ∫ a g ( x ) f ( t ) d t ) ′ = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ( ∫ h ( x ) a f ( t ) d t ) ′ = ( − ∫ a h ( x ) f ( t ) d t ) ′ ( ∫ h ( x ) g ( x ) f ( t ) d t ) ′ = f ( h ( x ) ) h ′ ( x ) − f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) 变限积分求导!!! \\~\\ 微积分基本定理: f(x)连续, F(x)=\int_{a}^x f(t)dt \\ \int_{a}^b f(x)dx 可转化为[a,b]的图形面积 \\ \\~\\ 重要变型公式:\\~ (\int_{a}^{g(x)} f(t)dt)'= f(g(x))g'(x) \\~\\ (\int_{h(x)}^{a} f(t)dt)' = (-\int_{a}^{h(x)} f(t)dt)' \\~\\ (\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt)' = f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x) \\ \\~ 变限积分求导!!! 微积分基本定理:f(x)连续,F(x)=∫axf(t)dt∫abf(x)dx可转化为[a,b]的图形面积 重要变型公式: (∫ag(x)f(t)dt)′=f(g(x))g′(x) (∫h(x)af(t)dt)′=(−∫ah(x)f(t)dt)′ (∫h(x)g(x)f(t)dt)′=f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)
例:
注意:只允许字母
x
出现在积分上下限中
y
=
∫
0
x
(
x
(
g
(
t
)
)
−
t
g
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
x
x
(
g
(
t
)
d
t
−
∫
0
x
t
g
(
t
)
)
d
t
=
x
∫
0
x
g
(
t
)
d
t
−
∫
0
x
t
g
(
t
)
)
d
t
[
运用
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
]
y
′
=
(
x
∫
0
x
g
(
t
)
d
t
−
∫
0
x
t
g
(
t
)
)
d
t
)
′
=
∫
0
x
g
(
t
)
d
t
+
x
g
(
x
)
−
x
g
(
x
)
=
∫
0
x
g
(
t
)
d
t
例:\\ 注意:只允许字母x出现在积分上下限中 \\~ y=\int_{0}^{x} (x(g(t))-tg(t))dt =\int_{0}^{x} x(g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt \\~ =x \int_{0}^{x} g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt ~~~~[运用(uv)'=u'v+uv']\\ y'=(x \int_{0}^{x} g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt)'=\int_{0}^{x} g(t)dt+xg(x)-xg(x)=\int_{0}^{x} g(t)dt \\~
例:注意:只允许字母x出现在积分上下限中 y=∫0x(x(g(t))−tg(t))dt=∫0xx(g(t)dt−∫0xtg(t))dt =x∫0xg(t)dt−∫0xtg(t))dt [运用(uv)′=u′v+uv′]y′=(x∫0xg(t)dt−∫0xtg(t))dt)′=∫0xg(t)dt+xg(x)−xg(x)=∫0xg(t)dt
根据
(
C
)
′
=
0
:
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
′
=
(
F
(
x
)
∣
a
b
)
x
′
=
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
′
=
0
[
没有含
x
字母,视为常数
]
对比:
d
d
x
∫
a
b
s
i
n
x
2
d
x
=
0
d
d
b
∫
a
b
s
i
n
x
2
d
x
=
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
b
′
=
f
(
b
)
−
0
=
f
(
b
)
=
s
i
n
b
2
[
熟练后可直接写
s
i
n
b
2
]
根据(C)'=0 : \\ (\int_a^bf(x)dx)'=(F(x)|_a^b)'_x=(F(b)-F(a))'= 0 ~~~[没有含x字母,视为常数] \\ 对比: \\ \frac{d}{dx}\int_a^bsinx^2dx=0 \\~\\ \frac{d}{db}\int_a^bsinx^2dx= (F(b)-F(a))'_b=f(b)-0=f(b)=sinb^2 ~ [熟练后可直接写sinb^2 ]\\ \\~
根据(C)′=0:(∫abf(x)dx)′=(F(x)∣ab)x′=(F(b)−F(a))′=0 [没有含x字母,视为常数]对比:dxd∫absinx2dx=0 dbd∫absinx2dx=(F(b)−F(a))b′=f(b)−0=f(b)=sinb2 [熟练后可直接写sinb2]
求导与积分 ( 凑微分 ) [ 求导容易积分难 ] ( x ) ′ = 1 2 1 x 逆运算 ∫ 1 x d x = 2 x + c f ′ ( Δ ) = f ′ ( Δ ) + Δ f ( Δ ) = 0 ∗ Δ = 0 → 【 e Δ x 】 ( x l n x ) ′ = l n x + 1 , ( l n x x ) ′ = 1 − l n x x 2 ∫ 1 − l n x ( x − l n x ) 2 d x = ∫ 1 − l n x x 2 ( x − l n x ) 2 x 2 d x = ∫ d l n x x ( 1 − l n x x ) 2 [ d 中可等价添加常数 ] = − ∫ d ( 1 − l n x x ) ( 1 − l n x x ) 2 = 1 1 − l n x x + c 求导与积分(凑微分)~~[求导容易积分难] \\ (\sqrt x)'= \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt x} 逆运算 \int \frac{1}{\sqrt x}dx=2\sqrt x+c \\ f'( \Delta)=f'( \Delta)+\Delta f( \Delta) =0*\Delta=0 \to 【e^{\Delta x} 】 \\ (xlnx)'=lnx+1, (\frac{lnx}{x})'= \frac{1-lnx}{x^2} \\ \int \frac{1-lnx}{(x-lnx)^2}dx=\int \frac{ \frac{1-lnx}{x^2} } {\frac{(x-lnx)^2}{x^2} }dx = \int \frac{ d \frac{lnx}{x} }{ (1-\frac{lnx}{x})^2 } [d中可等价添加常数]= -\int \frac{ d (1-\frac{lnx}{x}) }{ (1-\frac{lnx}{x})^2 } = \frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}+c \\ \\~ 求导与积分(凑微分) [求导容易积分难](x)′=21x1逆运算∫x1dx=2x+cf′(Δ)=f′(Δ)+Δf(Δ)=0∗Δ=0→【eΔx】(xlnx)′=lnx+1,(xlnx)′=x21−lnx∫(x−lnx)21−lnxdx=∫x2(x−lnx)2x21−lnxdx=∫(1−xlnx)2dxlnx[d中可等价添加常数]=−∫(1−xlnx)2d(1−xlnx)=1−xlnx1+c
若题中告知 f ′ ( x ) 存在 = > 导数定义求极限 : 若题中告知f'(x)存在 =>导数定义求极限: 若题中告知f′(x)存在=>导数定义求极限:
f
′
(
x
0
)
=
lim
t
→
0
f
(
x
0
+
g
(
t
)
)
−
f
(
x
0
)
g
(
t
)
f'(x_0)=\lim\limits_{t \to 0}\frac{f(x_0+g(t))-f(x_0)}{g(t)} \\~
f′(x0)=t→0limg(t)f(x0+g(t))−f(x0)
用分子相减的部分做分母
!
[
满足变型后可确定
]
用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]
用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]
f
′
(
1
)
=
lim
x
→
0
f
(
1
+
2
s
i
n
x
)
−
f
(
1
)
2
s
i
n
x
f'(1)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1+2sinx)-f(1)}{2sinx}
f′(1)=x→0lim2sinxf(1+2sinx)−f(1)
f
′
(
1
)
=
lim
x
→
0
f
(
1
)
−
f
(
1
−
3
t
a
n
x
)
3
t
a
n
x
=
lim
x
→
0
f
(
1
−
3
t
a
n
x
)
−
f
(
1
)
−
3
t
a
n
x
f'(1)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1)-f(1-3tanx)}{3tanx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1-3tanx)-f(1)}{-3tanx}\\~\\~
f′(1)=x→0lim3tanxf(1)−f(1−3tanx)=x→0lim−3tanxf(1−3tanx)−f(1)
凑导数定义例题: 凑导数定义例题:\\~ 凑导数定义例题:
\\~\\~
扩结论 : 若 lim x → □ f ( x ) g ( x ) ∃ 且分母 lim x → □ g ( x ) = 0 ⇒ lim x → □ f ( x ) = 0 扩结论:若\lim\limits_{x \to \square} \frac{f(x)}{g(x)} \exists ~~且分母~\lim\limits_{x \to \square}g(x) =0 ~~~\Rightarrow \lim\limits_{x \to \square}f(x)=0\\~ 扩结论:若x→□limg(x)f(x)∃ 且分母 x→□limg(x)=0 ⇒x→□limf(x)=0
例:求
f
(
x
)
在
x
=
1
可导
,
已知
lim
x
→
0
f
(
e
x
2
)
−
3
f
(
1
+
s
i
n
2
x
)
x
2
=
2
,
求
f
′
(
1
)
例:求f(x)在x=1可导,已知 \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-3f(1+sin^2x)}{x^2}=2 ,求f'(1)\\~
例:求f(x)在x=1可导,已知x→0limx2f(ex2)−3f(1+sin2x)=2,求f′(1)
lim
x
→
0
f
(
e
x
2
)
−
3
f
(
1
+
s
i
n
2
x
)
x
2
=
2
\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-3f(1+sin^2x)}{x^2}=2
x→0limx2f(ex2)−3f(1+sin2x)=2
lim
x
→
0
f
(
e
x
2
)
−
f
(
1
)
+
3
f
(
1
)
−
3
f
(
1
+
s
i
n
2
x
)
−
2
f
(
1
)
x
2
=
2
\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-f(1)+3f(1)-3f(1+sin^2x)-2f(1)}{x^2}=2
x→0limx2f(ex2)−f(1)+3f(1)−3f(1+sin2x)−2f(1)=2
根据
x
=
1
极限
∃
且分母
lim
x
→
0
x
2
=
0
⇒
分子极限
=
0
,带入
x
=
1
,
f
(
1
)
−
3
f
(
1
)
=
0
⇒
f
(
1
)
=
0
根据x=1极限\exist且分母\lim\limits_{x \to 0}x^2=0 ~~\Rightarrow~~分子极限=0,带入x=1,f(1)-3f(1)=0~~\Rightarrow~~f(1)=0
根据x=1极限∃且分母x→0limx2=0 ⇒ 分子极限=0,带入x=1,f(1)−3f(1)=0 ⇒ f(1)=0
lim
x
→
0
(
f
(
e
x
2
)
−
f
(
1
)
e
x
2
−
1
)
(
f
(
e
x
2
−
1
x
2
)
+
3
lim
x
→
0
(
f
(
1
)
−
3
f
(
1
+
s
i
n
2
x
)
−
s
i
n
2
x
)
(
−
s
i
n
2
x
x
2
)
=
2
\lim\limits_{x \to 0} (\frac{f(e^{x^2})-f(1)}{e^{x^2}-1})(\frac{f(e^{x^2}-1}{x^2})+3\lim\limits_{x \to 0}(\frac{f(1)-3f(1+sin^2x)}{-sin^2x})(\frac{-sin^2x}{x^2})=2
x→0lim(ex2−1f(ex2)−f(1))(x2f(ex2−1)+3x→0lim(−sin2xf(1)−3f(1+sin2x))(x2−sin2x)=2
f
′
(
1
)
−
3
f
′
(
1
)
=
2
f'(1)-3f'(1)=2
f′(1)−3f′(1)=2
f
′
(
1
)
=
−
1
f'(1)=-1
f′(1)=−1
经典考题:
经典考题:
经典考题:
设
y
=
f
(
x
)
,
由方程
y
−
x
=
e
x
(
1
−
y
)
确定
,
求
lim
n
→
∞
[
f
(
1
n
)
−
1
]
n
设y=f(x),由方程y-x=e^{x(1-y)}确定,求\lim\limits_{n \to \infty}[f(\frac{1}{n})-1]n
设y=f(x),由方程y−x=ex(1−y)确定,求n→∞lim[f(n1)−1]n
隐函数求导基本功,
(
尝试
x
=
0
,
1
,
−
1
)
代入法
x
=
0
,
y
=
1
(
即
f
(
0
)
=
1
)
隐函数求导基本功,(尝试x=0,1,-1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)
隐函数求导基本功,(尝试x=0,1,−1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)
对
x
求导
y
′
−
1
=
e
x
(
1
−
y
)
(
1
−
y
+
x
(
−
y
)
′
)
对x求导~~~~~~~y'-1=e^{x(1-y)}(1-y+x(-y)')
对x求导 y′−1=ex(1−y)(1−y+x(−y)′)
代入
x
=
0
,
y
=
1
,
y
′
−
1
=
0
,
即
y
′
=
1
,
(
代入的是
x
=
0
,
即
f
′
(
0
)
=
1
)
代入x=0,y=1,y'-1=0,即y'=1,(代入的是x=0,即f'(0)=1)
代入x=0,y=1,y′−1=0,即y′=1,(代入的是x=0,即f′(0)=1)
lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 x = 1 n lim n → ∞ [ f ( 1 n ) − f ( 0 ) ] 1 n − 0 \lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} ~~~\frac{x=\frac{1}{n}}{}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0} x→0limx−0f(x)−f(0) x=n1n→∞limn1−0[f(n1)−f(0)]
原式 lim n → ∞ [ f ( 1 n ) − 1 ] n = lim n → ∞ [ f ( 1 n ) − f ( 0 ) ] 1 n − 0 = f ′ ( 0 ) = 1 ( 代入 f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 1 ) 原式\lim\limits_{n \to \infty} [f(\frac{1}{n})-1]n=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}=f'(0)=1 \\ (代入f(0)=1,f'(0)=1) \\~\\~ 原式n→∞lim[f(n1)−1]n=n→∞limn1−0[f(n1)−f(0)]=f′(0)=1(代入f(0)=1,f′(0)=1)