假设检验学习笔记

news2024/11/17 12:41:38

1. 假设检验的基本概念

1.1. 原假设（零假设）

对总体的分布所作的假设用H_0表示，并称为原假设或零假设
在总体分布类型已知的情况下，仅仅涉及总体分布中未知参数的统计假设，称为参数假设
在总体分布类型未知的情况下，对总体分布类型或者总体分布的某些特性提出的统计假设，称为非参数假设

1.2. 假设检验中的两类错误

2. 单个正态总体参数的显著性检验

 对假设H_0的一个检验法完全决定于小概率事件A的选择。

2.1. μ检验

  • 已知$\sigma^2=\sigma_0^2$，检验$H_0:\mu=\mu_0$

选择统计量

u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0}\sqrt{n} \ \ \ (1) 

在H_{\mathrm{o}}成立的假定下，它服从N(0,1)分布。对给定的显著性水平\alpha

查表可得临界值，使得

P\left(|u|\geq u_{\frac{\alpha}{2}}\right)=\alpha

这说明

A=\{\mid u\mid\geqslant u_{\frac{\alpha}{2}}\}

为小概率事件

将样本值代人(1)式算出统计量的值u。如果\left|u\right|\geqslant u_{\frac a2}，则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H_{0}。这种检验法称为u检验。

已知方差时对正态总体均值的显著性检验归纳为以下几个步骤：

(1) 提出统计假设H_0:\mu=\mu_0；

(2) 选择统计量u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0}\sqrt{n}，并从样本值计算出统计量的值u；
(3) 对给定的显著性水平\alpha，从附表 2 查出在H_{0}成立的条件下，满足等式P(\mid u\mid\geq u_{\frac{\alpha}{2}})=\alpha的临界值u_\frac{\alpha}{2}；
(4) 作结论：如果|u|\geqslant u_\frac a2，则拒绝H_0；反之，可接受H_0。

  • 已知\sigma^2=\sigma_0^2，检验H_0:\mu\leqslant\mu_0

选取统计量

u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0}\sqrt{n} \ \ \ (2)
并令

\widetilde{u}=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma_{0}}\sqrt{n}

则\widetilde u\sim N(0,1)，若H_0成立，还有u\leq\widetilde{u}

对给定的\alpha，由附表 2 可查得临界值u_{a}，使得

P(\widetilde{u}\geqslant u_{\alpha})=\alpha

由式(2.2.5)可得

P\left(u\geqslant u_{\alpha}\right)\leqslant P\left(\widetilde{u}\geqslant u_{\alpha}\right)=\alpha

这说明事件“u\geqslant u_a”是小概率事件。因此H_0的拒绝域为u\geqslant u_a，将样本值代人式(2)算出统计量的值u，若u\geqslant u_{\alpha}，则拒绝H_0；否则可接受H_0。

 2.2. t检验

2.3. 卡方检验

3. 两个正态总体参数的显著性检验

3.1. F检验 

正态总体参数显著性检验表

3.2. t检验

在假设检验中：

以上3种检验的检验法则与检验效果是一致的。

在假设检验中： 

以上3种检验的检验法则与检验效果是一致的。

4. 非参数假设性检验

\chi^2拟合优度检验

皮尔逊统计量 

总结一下利用\chi^2拟合优度检验来检验关于总体分布的假设，步骤如下：

参考文献

假设检验-CSDN博客

https://zhuanlan.zhihu.com/p/545859256

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