非线性优化：高斯-牛顿法的原理与实现

引言

在实际应用中，很多问题都是非线性的。非线性优化问题广泛应用于机器学习、数据拟合、工程设计等领域。高斯-牛顿法是一种常用于解决非线性最小二乘问题的迭代算法。本文将详细介绍高斯-牛顿法的原理、推导过程，并通过Python代码实现该算法。

高斯-牛顿法原理

问题定义

非线性最小二乘问题可以表示为：
$$\underset{\mathbf{x}}{\min }\sum _{i=1}^m[r_i(\mathbf{x}){]}^2$$
其中，$\mathbf{x}$ 是需要优化的参数向量，$r_i(\mathbf{x})$是残差函数。

高斯-牛顿法

高斯-牛顿法的基本思想是利用泰勒展开对非线性函数进行线性近似，然后求解线性最小二乘问题。具体步骤如下：

1. 初始猜测参数${\mathbf{x}}_0$。
2. 迭代更新参数$\mathbf{x}$：
   $${\mathbf{x}}_{k+1}={\mathbf{x}}_k-({\mathbf{J}}^T\mathbf{J}{)}^{-1}{\mathbf{J}}^T\mathbf{r}({\mathbf{x}}_k)$$
   其中，$\mathbf{J}$ 是残差函数$\mathbf{r}(\mathbf{x})$对参数$\mathbf{x}$ 的雅可比矩阵。

雅可比矩阵

雅可比矩阵$\mathbf{J}$ 的每个元素定义为：
$$J_{ij}=\frac{\partial r_i(\mathbf{x})}{\partial x_j}$$

Python实现

下面的代码展示了如何使用高斯-牛顿法解决非线性最小二乘问题。

示例问题

我们以一个简单的非线性函数为例：
$$y=a\exp (bx)+c$$
给定一组数据点 $(x_i,y_i)$，拟合参数 $a,b,c$。

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def residuals(params, x, y):
    a, b, c = params
    return y - (a * np.exp(b * x) + c)

def jacobian(params, x):
    a, b, c = params
    J = np.zeros((len(x), len(params)))
    J[:, 0] = -np.exp(b * x)
    J[:, 1] = -a * x * np.exp(b * x)
    J[:, 2] = -1
    return J

def gauss_newton(x, y, initial_params, max_iter=100, tol=1e-6):
    params = np.array(initial_params)
    for i in range(max_iter):
        r = residuals(params, x, y)
        J = jacobian(params, x)
        delta = np.linalg.inv(J.T @ J) @ J.T @ r
        params = params - delta
        
        if np.linalg.norm(delta) < tol:
            break
    
    return params

# 生成示例数据
np.random.seed(0)
x = np.linspace(0, 1, 100)
a_true, b_true, c_true = 2, -1, 0.5
y_true = a_true * np.exp(b_true * x) + c_true
y_noisy = y_true + 0.1 * np.random.normal(size=x.size)

# 高斯-牛顿法拟合
initial_params = [1, -0.5, 0]
params_estimated = gauss_newton(x, y_noisy, initial_params)

# 输出结果
print("Estimated parameters:", params_estimated)
print("True parameters:", [a_true, b_true, c_true])

# 可视化拟合结果
y_fitted = params_estimated[0] * np.exp(params_estimated[1] * x) + params_estimated[2]
plt.scatter(x, y_noisy, label='Noisy data')
plt.plot(x, y_true, label='True function', linestyle='--')
plt.plot(x, y_fitted, label='Fitted function', color='red')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Gauss-Newton Method for Nonlinear Least Squares')
plt.show()

代码说明

1. residuals：计算残差函数 ( r(\mathbf{x}) )。
2. jacobian：计算雅可比矩阵 ( \mathbf{J} )。
3. gauss_newton：实现高斯-牛顿法的主函数。该函数迭代更新参数，直到收敛或达到最大迭代次数。
4. 示例数据生成与拟合：生成示例数据并使用高斯-牛顿法进行拟合，最后可视化结果。

结果展示

运行上述代码，可以得到拟合的参数估计值及其与真实值的比较，并通过图形展示拟合效果。

Estimated parameters: [ 2.00731989 -0.99971756  0.50021009]
True parameters: [2, -1, 0.5]

从结果可以看出，高斯-牛顿法能够较准确地估计非线性函数的参数。通过可视化图形，可以直观地看到拟合曲线与真实曲线之间的差异。

结论

高斯-牛顿法是一种强大且常用的非线性最小二乘优化方法。在处理非线性问题时，通过迭代更新参数，高斯-牛顿法可以有效地逼近全局最优解。本文介绍了高斯-牛顿法的原理、推导过程，并通过Python代码展示了如何应用该算法解决实际问题。

希望本文能够帮助您理解和应用高斯-牛顿法。如果您有任何问题或建议，欢迎在评论区留言讨论。