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Python内置函数

Python-3.12.0文档解读

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详细说明

功能描述

参数

返回值

使用规则

示例代码

基本使用

模运算

变动记录

记忆策略

常用场景

场景 1: 基本幂运算

场景 2: 计算倒数

场景 3: 幂运算结合模运算

场景 4: 计算倒数的模运算

场景 5: 处理复数结果

场景 6: 使用 pow 函数计算斐波那契数列的某一项

巧妙用法

技巧 1: 模逆的计算

技巧 2: 实现组合数计算

技巧3: 利用 pow 实现 RSA 加密和解密

综合技巧

技巧 1: 使用 pow 结合 itertools 生成密码学中的大素数

技巧2: 结合 multiprocessing 进行并行计算

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详细说明

功能描述

pow 函数用于计算 base 的 exp 次幂。在提供 mod 参数时，返回 base 的 exp 次幂对 mod 取余。这比单独使用表达式 pow(base, exp) % mod 更高效。两参数形式 pow(base, exp) 等价于乘方运算符 base**exp。

参数

• base (数值类型): 底数。
• exp (数值类型): 指数。
• mod (整数类型, 可选): 模数。如果提供，则返回结果为 base 的 exp 次幂对 mod 取余。如果不提供，则执行普通幂运算。

返回值

返回值的类型和输入参数类型有关：

• 如果 base 和 exp 都是整数且不涉及负指数，则结果为整数。
• 如果 exp 为负值，所有参数将被转换为浮点数，结果也为浮点数。
• 如果 base 为负且 exp 为非整数，结果为复数。

使用规则

1. 基本运算:
   • pow(10, 2) 返回 100。
   • pow(10, -2) 返回 0.01。
2. 模运算:
   • pow(base, exp, mod) 将计算 (base ** exp) % mod。
3. 负指数时的模运算:

• 如果 exp 为负值且给定 mod，则 base 必须相对于 mod 不可整除。函数将计算 pow(inv_base, -exp, mod)，其中 inv_base 是 base 的倒数对 mod 取余。

示例代码

基本使用

print(pow(10, 2)) # 输出 100

print(pow(10, -2)) # 输出 0.01

模运算

# 计算 2 的 5 次幂对 3 取余

print(pow(2, 5, 3)) # 输出 2



# 计算 38 的倒数对 97 取余

inv_38_mod_97 = pow(38, -1, 97)

print(inv_38_mod_97) # 输出 23

# 验证倒数

print((23 * 38) % 97 == 1) # 输出 True

变动记录

• 版本 3.8 之前:
  • 三参数形式的 pow 不允许第二个参数为负值。
  • 仅支持位置参数。
• 版本 3.8:

• 三参数形式的 pow 现在允许第二个参数为负值，能够计算倒数的余数。

支持关键字参数。

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记忆策略

pow 是单词 "power" 的缩写。在数学中，"power" 表示幂运算。因此，当看到 pow 时，可以联想到幂（power）运算。

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常用场景

pow 函数在很多实际应用中都非常有用，尤其是在涉及幂运算和模运算的场景中。以下是几个详细的使用场景，每行代码都带有注释。

场景 1: 基本幂运算

计算一个数字的幂次方，例如科学计算或复利公式等。

# 计算 3 的 4 次幂
result = pow(3, 4)
# 预期输出 3 ** 4 = 81
print(result)  # 输出 81

场景 2: 计算倒数

当需要计算一个数的倒数时，使用负指数。

# 计算 5 的 -2 次幂，即 1 / (5 ** 2)
result = pow(5, -2)
# 预期输出 1 / (5 ** 2) = 1 / 25 = 0.04
print(result)  # 输出 0.04

场景 3: 幂运算结合模运算

常用于密码学中的大数计算，例如RSA算法。

# 计算 7 的 256 次幂对 13 取余
result = pow(7, 256, 13)
# 预期输出 (7 ** 256) % 13
print(result)  # 输出 9

场景 4: 计算倒数的模运算

在模运算中计算一个数的倒数，常用于加密算法和同余方程。

# 计算 38 的倒数对 97 取余
inv_38_mod_97 = pow(38, -1, 97)
# 检查 38 的倒数 (23) 和 38 相乘后对 97 取余是否为 1
# 预期输出 True
print((inv_38_mod_97 * 38) % 97 == 1)  # 输出 True

场景 5: 处理复数结果

处理负数底数和非整数指数的幂运算，会返回复数结果。

# 计算 -9 的 0.5 次幂，即 sqrt(-9)
result = pow(-9, 0.5)
# 预期输出复数 3j (即虚数单位 j)
print(result)  # 输出 3j

场景 6: 使用 pow 函数计算斐波那契数列的某一项

利用快速幂算法来计算斐波那契数列的第 n 项。

import math

def fibonacci(n):
    # 使用黄金比例公式计算 fib(n)
    phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
    psi = (1 - math.sqrt(5)) / 2
    
    # 计算 phi^n 和 psi^n
    phi_n = pow(phi, n)
    psi_n = pow(psi, n)
    
    # 按照公式计算斐波那契数列的第 n 项
    fib_n = (phi_n - psi_n) / math.sqrt(5)
    
    # 由于浮点数计算存在误差，这里使用四舍五入取整
    return round(fib_n)

# 计算 Fibonacci(10)
result = fibonacci(10)
# 预期输出 55
print(result)  # 输出 55

# 计算 Fibonacci(20)
result = fibonacci(20)
# 预期输出 6765
print(result)  # 输出 6765

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巧妙用法

技巧 1: 模逆的计算

在数论和密码学中，经常需要计算模逆。一般方法可能需要扩展欧几里得算法，但 pow 函数可以巧妙地利用费马小定理快速计算模逆。

def mod_inverse(a, m):
    # 如果 m 是素数，利用费马小定理计算模逆
    return pow(a, m - 2, m)  # 这里假设 m 是素数

# 示例: 计算 3 在模 11 下的模逆
result = mod_inverse(3, 11)
print(result)  # 输出 4，因为 (3 * 4) % 11 = 1

技巧 2: 实现组合数计算

在组合数学中，计算组合数（即二项式系数）时，可以利用 pow 函数实现快速计算，特别是在模运算下。

def mod_comb(n, k, mod):
    if k > n:
        return 0
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    
    # 计算 n! % mod
    num = 1
    for i in range(n, n - k, -1):
        num = (num * i) % mod
    
    # 计算 k! % mod
    denom = 1
    for i in range(1, k + 1):
        denom = (denom * i) % mod
    
    # 计算组合数: num * mod_inverse(denom, mod) % mod
    return (num * pow(denom, mod - 2, mod)) % mod

# 示例: 计算 C(10, 3) % 13
result = mod_comb(10, 3, 13)
print(result)  # 输出 10，因为 C(10, 3) = 120，120 % 13 = 10

技巧3: 利用 pow 实现 RSA 加密和解密

在 RSA 加密算法中，核心步骤是计算大整数的模幂。pow 函数的三参数形式非常适合这个任务。

# RSA 加密
def rsa_encrypt(message, e, n):
    return pow(message, e, n)

# RSA 解密
def rsa_decrypt(ciphertext, d, n):
    return pow(ciphertext, d, n)

# 示例参数（实际使用中参数应更大）
e = 65537
d = 2753
n = 3233

# 加密
message = 123
ciphertext = rsa_encrypt(message, e, n)
print(ciphertext)  # 输出密文

# 解密
decrypted_message = rsa_decrypt(ciphertext, d, n)
print(decrypted_message)  # 输出 123，解密后的明文

这些技巧展示了 pow 函数在计算效率和解决复杂数学问题上的强大功能，不仅能处理常见的幂运算，还能高效地计算模幂和模逆。

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综合技巧

可以将 pow 函数与其他函数或方法结合使用来解决一些复杂问题，以下是几个巧妙的组合用法：

技巧 1: 使用 pow 结合 itertools 生成密码学中的大素数

在密码学中，大素数的生成和验证是一个重要的步骤。可以使用 itertools 生成候选素数，然后使用 pow 函数进行快速素数测试（如费马素性测试）。

import itertools
import random

def is_probable_prime(n, k=5):
    """使用费马素性测试检查一个数是否为素数"""
    if n <= 1:
        return False
    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        if pow(a, n - 1, n) != 1:
            return False
    return True

def generate_large_prime(bits):
    """生成指定位数的大素数"""
    while True:
        candidate = random.getrandbits(bits) | (1 << (bits - 1)) | 1
        if is_probable_prime(candidate):
            return candidate

# 示例：生成一个512位的大素数
large_prime = generate_large_prime(512)
print(large_prime)

技巧2: 结合 multiprocessing 进行并行计算

在大规模计算中，可以使用 multiprocessing 进行并行计算，并结合 pow 函数进行高效的数学运算。

from multiprocessing import Pool

def power_mod(base_exp_mod):
    base, exp, mod = base_exp_mod
    return pow(base, exp, mod)

# 示例：并行计算多个幂模运算
inputs = [(2, 100000000, 1000000007), (3, 200000000, 1000000007), (5, 300000000, 1000000007)]
with Pool() as pool:
    results = pool.map(power_mod, inputs)

print(results)  # 输出多个幂模运算结果的列表

以上这些例子展示了如何巧妙地将 pow 函数与其他函数或方法结合使用，解决实际中的复杂问题。这些技巧不仅高效，还能显著简化代码逻辑。

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感谢阅读。