信息学奥赛初赛天天练-13-数论-素数的判定

news2025/2/25 2:24:54

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1 素数

质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数
1 既非素数也非合数
2 是唯一的偶素数。

2 素数的判定

1)朴素算法

根据质数的定义，可以遍历从 2 到自身看是否有被整除的数

时间复杂度

O(n)

示例代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
 根据素数的定义朴素算法求解 
*/
bool checkPrime(int n){
	if(n==1) return false;
	bool isPrime=true;
	for(int i=2;i<n;i++){//n对2~n-1 逐一求余，可以整除，余数为0则不是素数 
		if(n%i==0)
		{
			isPrime=false;
			break;
		}
	}
	//n对2~n-1 逐一求余，都不能整除 则为素数 
	return isPrime;
}

int main(){
	int x;
	cin>>x;
	if(checkPrime(x)) 
		cout<<x<<" 是素数！";
	else
		cout<<x<<" 不是素数！";	

	return 0;
}
/*
  输入 8 
  输出 8 不是素数
  输入 17
  输出 17是素数 
*/

2)优化算法1 - 试除法

一个数n的因数是成对出现的，如果n的一个因数是是d，那么必然会出现对应的一个因数n/d

因此2个因数d和n/d存在其中一个的时候另一个也必定存在，如果其中一个不存在，那么另一个也不存在。所以只要判断其中一个就可以了

例如 18

有3对因数，分别 [ 1,18 ] , [ 2, 9 ] , [ 3, 6 ]，只需要除以1，2，3即可，循环到n/i 或者sqrt(n)即可

时间复杂度

O(sqrt(n))

示例代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
  优化算法 试除范围2~sqrt(n) 或者2~n/i 
*/
 
bool checkPrime(int n){
	if(n==1) return false;
	bool isPrime=true;
	for(int i=2;i<=n/i;i++){//n对2~n/i或者2~n/i 逐一求余，可以整除，余数为0则不是素数 
		if(n%i==0)
		{
			isPrime=false;
			break;
		}
	}
	//n对2~n/i或者2~n/i 逐一求余，都不能整除 则为素数 
	return isPrime;
}

int main(){
	int x;
	cin>>x;
	if(checkPrime(x)) 
		cout<<x<<" 是素数！";
	else
		cout<<x<<" 不是素数！";	

	return 0;
}
/*
  输入 8 
  输出 8 不是素数
  输入 17
  输出 17是素数 
*/

3)优化算法2 -只整除素数

如果 𝑛 是合数，那么它必然有一个小于等于sqrt(n) 的素因子，只需要对sqrt(n)内的素数进行测试即可，需要预处理求出sqrt(n)中的素数，假设该范围内素数的个数为s，那么复杂度降为 𝑂(𝑠)

在优化算法1试除法的基础上，2~sqrt(n) 范围素数进行试除

时间复杂度

O(s) -s是2~sqrt(n)范围内的素数的个数，由于素数个数比较稀疏，因此时间复杂度大大降低

示例代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
  优化算法 试除范围2~sqrt(n) 或者2~n/i 内的素数 
*/
const int N=1100; 
//存放1100内的素数，素数时间少很多 
int primes[N];//sqrt(10^6)是1000，因此可以计算10^6范围内的素数
/*
 试除法求素数，用于初始化素数数组
*/ 
bool checkPrime(int n){
	if(n==1) return false;
	bool isPrime=true;
	for(int i=2;i<=n/i;i++){//n对2~n/i或者2~n/i 逐一求余，可以整除，余数为0则不是素数 
		if(n%i==0)
		{ 
			isPrime=false;
			break;
		}
	}
	//n对2~n/i或者2~n/i 逐一求余，都不能整除 则为素数 
	return isPrime;
}
/*
  在优化算法1试除法的基础上，2~sqrt(n) 范围素数进行试除
*/
bool checkPrime2(int n){
	if(n==1) return false;
	bool isPrime =true;
	for(int i=0;i<=sqrt(n);i++){
		if(primes[i]>sqrt(n)){//2~sqrt(n) 范围素数都试除后，没用找到，结束 
			break;
		}
		if(n%primes[i]==0){//如果n可以整除2~sqrt(n)任意素数，在n不是素数 
			isPrime = false;
			break;
		}
	}
	return isPrime;
}

int main(){
	//初始化1100以内的素数 
	int pi=0;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(checkPrime(i)) primes[pi++]=i;
	}
	int x;
	cin>>x;
	if(checkPrime2(x)) 
		cout<<x<<" 是素数！";
	else
		cout<<x<<" 不是素数！";	

	return 0;
}
/*
  输入 8 
  输出 8 不是素数
  输入 17
  输出 17是素数 
*/

3 算法性能对比

通过1道洛谷OJ题，对3个算法执行时间进行对比，主要关注如下红框内，标红的测试点的执行时间

https://www.luogu.com.cn/problem/B2137

1) 朴素算法

执行超时，执行时间1200ms