巴特沃斯滤波器设计

在之前的滤波器教程中，我们研究了简单的一阶型低通和高通滤波器，这些滤波器的 RC 滤波器电路设计中仅包含一个电阻器和一个电抗组件（电容器）。

1、概述

巴特沃斯滤波器是一种模拟滤波器设计，可产生最佳输出响应，通带或阻带中没有纹波，从而产生最大平坦的滤波器响应，但代价是相对较宽的过渡带。

在使用滤波器塑造信号频谱的应用中，例如在通信或控制系统中，滚降的形状或宽度也称为“过渡带”。 对于简单的一阶滤波器，该过渡带可能太长或太宽，因此需要设计有多个“阶”的有源滤波器。 这些类型的滤波器通常称为“高阶”或“n 阶”滤波器。

复杂性或滤波器类型由滤波器“阶数”定义，并且取决于其设计中的电抗元件（例如电容器或电感器）的数量。 我们还知道，滚降率以及过渡带的宽度取决于滤波器的阶数，对于简单的一阶滤波器，其标准滚降率为 20dB/十倍频程或 6dB /八度。

那么，对于具有第 n 个阶数的滤波器，它将具有 20n dB/十倍频程或 6n dB/倍频程的后续滚降率。 因此，一阶滤波器的滚降率为 20dB/decade（6dB/octave），二阶滤波器的滚降率为 40dB/decade（12dB/octave），四阶滤波器的滚降率为 40dB/decade（12dB/octave）。 80dB/十倍频程（24dB/倍频程）的滚降率，等等。

高阶滤波器，例如三阶、四阶和五阶滤波器，通常由单个一阶和二阶滤波器级联在一起形成。

例如，两个二阶低通滤波器可以级联在一起以产生四阶低通滤波器，等等。 虽然可以形成的滤波器的阶数没有限制，但随着阶数的增加，其尺寸和成本也随之增加，但其精度也会下降。

2、Decades和Octaves

在频率尺度上，十度是增加十倍（乘以 10）或减少十倍（除以 10）。 例如，2 到 20Hz 代表一个十进制，而 50 到 5000Hz 代表二十个十进制（50 到 500Hz，然后 500 到 5000Hz）。

倍频程是频率范围的加倍（乘以 2）或减半（除以 2）。 例如，10 到 20Hz 代表一个八度，而 2 到 16Hz 则代表三个八度（2 到 4、4 到 8，最后是 8 到 16Hz），每次频率加倍。 无论哪种方式，在使用放大器和滤波器时，对数刻度在频域中广泛使用来表示频率值，因此理解它们非常重要。

对数频率标度

由于频率确定电阻器和频率确定电容器都相等，因此一阶、二阶、三阶甚至四阶滤波器的截止频率或转角频率 ( $f_C$ ) 也必须相等，可通过下式找到： 使用我们现在熟悉的等式：

与一阶和二阶滤波器一样，三阶和四阶高通滤波器是通过简单地交换等效低通滤波器中的频率确定部件（电阻器和电容器）的位置而形成的。 可以按照我们之前在低通滤波器和高通滤波器教程中看到的过程来设计高阶滤波器。 然而，高阶滤波器的总体增益是固定的，因为所有频率确定分量都是相等的。

过滤器近似值

到目前为止，我们已经了解了低通和高通一阶滤波器电路及其产生的频率和相位响应。 理想的滤波器将为我们提供最大通带增益和平坦度、最小阻带衰减以及非常陡峭的通带到阻带滚降（过渡带）的规格，因此很明显，大量网络响应将 满足这些要求。

毫不奇怪，线性模拟滤波器设计中有许多“近似函数”，它们使用数学方法来最好地近似我们滤波器设计所需的传递函数。

此类设计被称为椭圆、巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔、考尔以及许多其他设计。 在这五个“经典”线性模拟滤波器近似函数中，只有巴特沃斯滤波器，尤其是低通巴特沃斯滤波器设计将被视为最常用的函数。

3、低通巴特沃斯滤波器设计

巴特沃斯滤波器近似函数的频率响应通常也被称为“最大平坦”（无纹波）响应，因为通带被设计为具有从 0Hz (DC) 到截止的数学上尽可能平坦的频率响应 -3dB 截止频率，无纹波。 超出截止点的较高频率在阻带中以 20dB/十倍频程或 6dB/倍频程滚降至零。 这是因为它的“品质因数”“Q”仅为 0.707。

然而，巴特沃斯滤波器的一个主要缺点是，当滤波器从通带变为阻带时，它以宽过渡带为代价来实现通带平坦度。 它还具有较差的相位特性。 下面给出了不同滤波器阶数的理想频率响应（称为“砖墙”滤波器）和标准巴特沃斯近似。

巴特沃斯滤波器的理想频率响应

请注意，巴特沃斯滤波器阶数越高，滤波器设计中的级联级数量就越多，滤波器就越接近理想的“砖墙”响应。

然而在实践中，巴特沃斯的理想频率响应是无法实现的，因为它会产生过多的通带纹波。

其中表示“n 阶”巴特沃斯滤波器的广义方程的频率响应如下：

其中：

• n 表示滤波器阶数，
• $\omega$ 等于 $2\pi f$，
• $ϵ$ 是最大通带增益 ($A_{max}$)。 如果 A m a x A_{max} A