题3：子矩阵

【题目描述】

给出如下定义：

1.子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第$2、4$行和第$2、4、5$列交叉位置的元素得到一个$2\ast 3$ 的子矩阵如右图所示。

2.相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3.矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个$n$行$m$列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个$r$行$c$列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

【输入】

第一行包含用空格隔开的四个整数$n，m，r，c$，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的$n$行，每行包含$m$个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个$n$行$m$列的矩阵。

【输出】

输出共$1$行，包含$1$个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

【输入样例1】

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

【输出样例1】

6

【样例 1 说明】

该矩阵中分值最小的$2$行$3$列的子矩阵由原矩阵的第$4$行、第$5$行与第$1$列、第$3$列、第$4$列交叉位置的元素组成，为$675566$
,其分值为$|6-5|+|5-6|+|7-5|+|5-6|+|6-7|+|5-5|+|6-6|=6$。

【输入样例2】

7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

【输出样例2】

16

【样例 2 说明】

该矩阵中分值最小的$3$行$3$列的子矩阵由原矩阵的第$4$行、第$5$行与第$2$列、第$6$列、第$7$列交叉位置的元素组成，选取的分值最小子矩阵为$9957888810$

【数据说明】

对于 $50\%$ 的数据，$1\le n\le 12,1\le m\le 12$, 矩阵中的每个元素$1\le a[i][j]\le 20$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 16,1\le m\le 16$,矩阵中的每个元素$1\le a[i][j]\le 1000,1\le r\le n,1\le c\le m$。

【代码如下】：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
ifstream cin("submatrix.in");
ofstream cout("submatrix.ans");
const int N=30;
int a[N][N];
int n,m,r,c;
int f[N][N];
int w[N][N];
bitset<20>now;//偷懒用了bitset做状压。。。 
int calc(int x)//计算横着的 第x行 
{
    int last=0x3f3f3f3f,ret=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    if(now[i])
    {
        if(last!=0x3f3f3f3f)
        ret+=abs(a[x][i+1]-last);
        last=a[x][i+1];
    }
    return ret;
}
int work(int x,int y)//x是这一行 y是上一行 
{
    if(y==0)return 0;
    int ret=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    if(now[i])
    ret+=abs(a[x][i+1]-a[y][i+1]);
    return ret;
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t1=calc(i);
        for(int j=i-1;j>=0;j--)
        w[i][j]=t1+work(i,j);
    }
}
void dp()
{
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int s=0;s<(1<<m);s++)
    {    
        now=s;
        if(now.count()!=c)continue;
        memset(f,0x3f,sizeof f);
        f[0][0]=0;
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=r;j++)
            {
                for(int k=0;k<i;k++)
                f[i][j]=min(f[k][j-1]+w[i][k],f[i][j]);
            }
            ans=min(ans,f[i][r]);
        }
    }
    cout << ans << endl;
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> r >> c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	cin >> a[i][j];
    dp();
}