引言

在计算机科学中，树结构是一种常见的数据组织形式，广泛应用于各种场景，如文件系统、组织结构、决策树等。深度确定问题涉及到对有根树的森林进行操作，以确定特定节点在其树中的深度。这个问题可以通过不相交集合森林（Disjoint Set Forest，简称DSF）来有效解决。DSF是一种数据结构，用于处理一些不相交的动态集合，它支持合并和查找操作，这些操作在树的深度确定中非常有用。

不相交集合森林（DSF）基础

DSF的核心思想是使用树状结构来表示集合，每个节点包含指向其父节点的指针。DSF支持以下操作：

• MAKE-SET(v): 创建一个只包含节点v的集合。
• FIND-SET(v): 返回节点v所在集合的代表节点。
• UNION(x, y): 将包含x和y的两个集合合并。

为了提高效率，DSF通常结合两种启发式策略：按秩合并（Union by Rank）和路径压缩（Path Compression）。

按秩合并与路径压缩

按秩合并是一种优化策略，它在合并两个集合时，总是将较小树的根指向较大树的根，以此来避免形成过于深窄的树。
路径压缩是在执行FIND-SET操作时，将查找路径上的所有节点直接链接到根节点，从而减少后续查找的深度。

深度确定问题的解决方案

在深度确定问题中，我们使用DSF来维护森林F={T}，并实现以下操作：

• MAKE-TREE(v): 初始化一个只包含节点v的树。
• FIND-DEPTH(v): 返回节点v在树中的深度。
• GRAFT(r, v): 将节点r作为节点v的子节点。

在解决深度确定问题时，我们维护一个由树构成的森林，通过三个基本操作：MAKE-TREE、FIND-DEPTH和GRAFT。为了优化操作的时间效率，我们可以采用类似于不相交集合森林的数据结构，并使用特定的启发式策略。

a. 基本操作和运行时间
假设我们采用如下的表示法：对于森林中的每个结点v，我们使用v.p来表示其父结点，除非v是根结点，此时v.p=v。GRAFT操作可以通过设置r.p=v来实现，其中r是希望成为v孩子的结点。FIND-DEPTH操作可以通过从v开始沿查找路径上升至根，同时计数除v以外的结点数来实现。

证明：对于包含m个MAKE-TREE、FIND-DEPTH和GRAFT操作的序列，其最坏情况运行时间是θ(m²)。因为每次FIND-DEPTH操作可能需要遍历到根结点的所有父结点，如果树不平衡且操作频繁指向树的深层，那么运行时间将与树的深度平方成正比，即θ(m²)。

b. 使用启发式策略优化
为了减少最坏情况运行时间，我们可以采用按秩合并与路径压缩的启发式策略。不相交集合森林中的每个集合（即每棵树）不需要直接对应于森林F中的树T，而是允许我们确定T中任意结点的深度。

通过按秩合并，我们在合并两个集合时选择秩较小的集合的根作为秩较大集合的根的孩子，如果秩相同，则任选一个根并增加其秩。这样可以确保树的高度（即操作的成本）尽可能低。

路径压缩则是在FIND-SET操作中将查找路径上的每个结点直接指向根结点，这样在后续操作中，对同一结点的查找可以更快完成。

c. 实现MAKE-TREE和修改FIND-SET
MAKE-TREE的一种实现：

MAKE-TREE(v):

1. v.p = v // 初始化v为其自身的父结点，即表示v是根结点
2. v.rank = 0 // 初始化秩为0，表示单结点树的高度上界
   修改FIND-SET实现FIND-DEPTH：

为了实现FIND-DEPTH并应用路径压缩，我们可以在FIND-SET过程中维护一个额外的变量来记录从当前结点到根的路径长度（即深度）。由于FIND-SET操作是两趟方法，我们可以在回溯时更新每个结点的伪距离v.d，以确保从该结点到根的伪距离之和等于其在树T中的实际深度。

FIND-DEPTH(v):

1. if v ≠ v.p: // 如果v不是根结点

2. depth = FIND-DEPTH(v.p) + 1 // 递归查找v的父结点的深度，并加1  
   

3. v.p = v.p.p // 路径压缩：直接让v指向其祖父结点  
   

4. v.d = depth // 更新v的伪距离为其父结点的深度加1  
   

5. return v.d // 返回v的深度
   注意，这里的FIND-DEPTH实现同时完成了FIND-SET的功能（通过返回根结点）并应用了路径压缩，确保了后续操作的高效性。此外，该实现的运行时间与查找路径的长度呈线性关系，从而优化了操作效率。

实现MAKE-TREE

MAKE-TREE操作可以通过创建一个新的节点并将其父节点设置为自己来实现，表示一个单节点树。

void MAKE_TREE(Node* v) {
    v->parent = v; // 初始化节点的父节点为自身
    v->depth = 0;  // 初始化节点的深度为0
}

修改FIND-SET实现FIND-DEPTH

FIND-SET操作需要结合路径压缩来实现FIND-DEPTH。在查找过程中，更新节点的深度。

Node* FIND_SET(Node* v) {
    if (v->parent != v) {
        v->parent = FIND_SET(v->parent);
    }
    return v->parent;
}

int FIND_DEPTH(Node* v) {
    Node* root = FIND_SET(v);
    return root->depth + 1; // 加1是因为从节点到根的路径包括节点自身
}

实现GRAFT

GRAFT操作通过修改UNION和LINK过程来实现。它需要正确更新伪距离和深度。

void GRAFT(Node* r, Node* v) {
    Node* r_root = FIND_SET(r);
    Node* v_root = FIND_SET(v);
    LINK(r_root, v_root); // 将r的根链接到v的根

    // 更新深度
    if (r_root != v_root) {
        r_root->depth = v_root->depth + 1;
    }
}

分析最坏情况运行时间

一组包含m个MAKE-TREE、FIND-DEPTH和GRAFT操作的序列的最坏情况运行时间可以通过对DSF操作的分析来确定。使用按秩合并和路径压缩策略，可以证明最坏情况的运行时间是θ(m²)。

结论

通过不相交集合森林结合按秩合并和路径压缩策略，我们可以有效地解决深度确定问题。这种方法不仅提供了一种快速的方式来确定节点的深度，而且还能够高效地处理森林中的其他相关操作。

参考文献

[1] Tarjan, R. E. (1983). Data Structures and Network Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics.
[2] Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd Edition). MIT Press.