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通常做题思路：问题转化为流网络，再通过最大流 / 最小割 / 费用流与问题之间的数量关系，求解出原问题。

网络流于其他算法不同，概念定理需要熟记于心，否则后面做题会有很大的障碍。

1. 流网络

一个流网络记作 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示点集，$E$ 表示边集。对于 $\forall (u,v)\in E$，都有一个容量记作 $c(u,v)$。由于是一张流网络，那肯定还应该有汇点与源点，通常记作 $s,t$。

如图，这就是一张流网络。

2. 可行流

对于每一个流网络，满足以下 $2$ 个条件为可行流：

1. 容量限制

   ​ 记作：$0\le f(u,v)\le c(u,v)$，即流经每条边的流量不能超过他的限制。

2. 流量守恒

   ​ 记作：${\sum }_{(v,x)\in E}f(v,x)={\sum }_{(x,v)\in E}f(x,v)$，即除了源点与汇点之外，流入点 $i$ 的总流量 $=$ 流出点 $i$ 的总流量。

可行流的流量 $|f|$，是指从源点流出的总流量。

即：$|f|={\sum }_{(s,v)\in E}f(s,v)-{\sum }_{(v,s)\in E}f(v,s)$

3. 残留网络

一般来说，残留网络记作 $G_f=(V,E+!E)$，其中 $V,E$ 是源网络的边集和点集，$!E$ 表示 $E$ 中的所有反向边。

容量：
$$c^{\prime }(u,v)=\{\begin{array}{llc}& c(u,v)-f(u,v)& (u,v)\in E\\ & f(u,v)& (u,v)\in !E\end{array}$$

定理

$f$ 为原网络的可行流，$f^{\prime }$ 为残留网络的可行流。

则有：$f+f^{\prime }$ 也是 $G$ 的一个可行流且 $|f+f^{\prime }|=|f|+|f^{\prime }|$

证明：定义 $f_n=f+f^{\prime }$，则 $f_n(u,v)=f(u,v)+f^{\prime }(u,v)$（注意这里只考虑正向边），为了证明也是一个可行流，无非从 $2$ 方面：容量限制和流量守恒。

容量限制：$f^{\prime }(u,v)\le c^{\prime }(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$，所以 $f(u,v)+f^{\prime }(u,v)\le c(u,v)$

流量守恒：因为 $f(u,v)$ 满足流量守恒，$f^{\prime }(u,v)$ 也满足流量守恒，所以 $f(u,v)+f^{\prime }(u,v)$ 也满足流量守恒（这里只是略证，更多细节大家可以展开观察）。

4. 增广路径

在残留网络沿着容量大于 $0$ 的边如果能够走到终点，这条路径称为增广路径。（注意：增广路径只是一条路径，而非一个网络）

5. 割

5.1 定义：

将点集 $V$ 分成不重叠 $S$ 和 $T$， 使得源点在$S$，汇点在 $T$。

5.2 割的容量

$c(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)$

最小割： 最小的割的容量

5.3 割的流量

$f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{v\in S}{\sum }_{u\in T}f(u,v)$

性质1： $\forall [S,T],f(S,T)\le c(S,T)$

证明： 由于 $f(u,v)$ 是大于等于 $0$ 的，所以 $f(S,T)\le {\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)$，又因为有容量，所以一定 $\le {\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)$ ，故 $\forall [S,T],f(S,T)\le c(S,T)$

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性质2： $\forall [S,T],f(S,T)=|f|$

证明2：

$f(X,Y)={\sum }_{u\in X}{\sum }_{v\in Y}f(u,v)-{\sum }_{v\in X}{\sum }_{u\in Y}f(u,v)$

则：$f(X,Y)=-f(Y,X)$， $f(X,X)=0$，$f(Z,X\cup Y)=f(Z,X)+f(Z,Y),X\cap Y=\varnothing$

那么有：
∵ S ∪ T = V , S ∩ T = ∅ , ∴ f ( S , V ) = f ( S , S ) + f ( S , T ) ∴ f ( S , T ) = f ( S , V ) − f ( S , S ) = f ( S , V ) = f ( { s } , V ) + f ( S − { s } , V ) = f ( { s } , V ) = ∣ f ∣ \begin{aligned} &\because S\cup T=V,S\cap T=\varnothing,\\ &\therefore f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)\\ &\therefore f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(\{s\},V)+f(S-\{s\},V)=f(\{s\},V)=|f|\\ \end{aligned} ​∵S∪T=V,S∩T=∅,∴f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)∴f(S,T)=f(S,V)−f(S,S)=f(S,V)=f({s},V)+f(S−{s},V)=f({s},V)=∣f∣​

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那么 $|f|=f(S,T)\le c(S,T)$

即，$|f|\le c(S,T)$；故，最大流 $\le$ 最小割

7. 最大流最小割定理

（1）可行流 $f$ 是最大流

（2）$G_f$ 中不存在增广路

（3）$|f|=c(S,T)$

在三个条件中，仅需知道 $1$ 个，就能够推出另外 $2$ 个，证明略。