专栏文章：数据结构学习笔记
作者主页：格乐斯
前言
树和二叉树的定义
二叉树的基本特点和性质
二叉树的存储与遍历
树的定义
树是n(n>=0)个结点的有限集合；
若n=0，称为空树；
若n>0，称为非空树，非空树有且仅有一个结点被称为根；
除根结点以外的结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集，其中每个集合本身也是一棵树，称为根的子树。
树的定义也涉及到树，某种程度上这体现了递归的思想；实际上对树进行遍历也使用了递归算法
树的基本术语
- 根结点：非空树中无前驱结点的结点
- 结点的度：结点拥有的子树数量
- 非终端结点或分支结点：度不等于0
- 叶子或终端结点：度等于0
- 兄弟结点：前驱结点为同一结点的结点
- 堂兄弟结点：在同一层的结点
- 双亲结点：孩子结点的前驱结点
- 孩子结点：双亲结点的后继结点
- 树的度：各结点的度的最大值
- 树的深度：树中结点的最大层次
- 有序树：结点各子树从左至右有序，不能互换（左优先）
- 无序树：结点各子树可互换位置
- 森林：n棵互不相交的树的集合；树是只有一棵树的森林；森林不一定是树
二叉树的定义
二叉树是特殊的树，对于非空二叉树：除根结点以外的结点分为两个互不相交子集，分别称为左子树和右子树，而它们本身又是二叉树
简而言之，二叉树的结点最多只能有两个子树
二叉树基本特点
- 结点的度不超过2
- 有序树
完全二叉树
只有最后一层的结点有可能不满，且结点全部集中在左边
满二叉树
深度为k，且有(2^k) -1个结点的二叉树；
特点：每层结点都满；叶子结点全部在最底层；每一结点位置都有元素；满二叉树是完全二叉树的特例
二叉树性质
性质1
二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）
**证明：**假设该二叉树是满二叉树
第一层只有1个结点，也就是根结点：2^(1-1)=1
第二层有2个结点：2^(2-1)=2
第三层有4个结点：2^(3-1)=4
根据归纳法可得：第i层有2^(i-1)个结点
性质2
深度为k的二叉树至多有(2^k) -1个结点(k>=1)
证明：对性质1的公式进行等比数列求和可得结果
性质3
对于任何一棵二叉树，假设终端结点（度为0）数为n0，度为1的结点数为n1，度为2的结点数为n2，则n0=n2-1
证明：总结点数 n=n1+n2+n0 ；
n1下接一条边，n2下接两条边， 则2*n2+n1=n-1；
两式相减得n0-n2=1
性质4
具有n个结点的完全二叉树深度为[log2(n+1)] 或 [log2n]+1 （中括号[ ] 意为向下取整）
证明：完全二叉树的结点数n一定少于等于相同深度的满二叉树的结点数(2^k) -1，即n<=(2^k) -1，可得k=[log2(n+1)]
性质5
对于一个有n个结点的完全二叉树，从上至下、从左至右对结点进行编号，则编号为i的结点，有以下几种情况：
1、若2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则左孩子结点为2i
2、若2i+1>n，则结点i无右孩子；否则右孩子结点为2i+1
3、若i=1，则结点i为二叉树的根结点，无双亲；若
i>1，则双亲为 [i/2] （结果向下取整）
二叉树的存储与遍历
二叉树的存储
二叉树的顺序存储
按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素；一般使用数组存储数据元素。
typedef struct
{
TElemType *data;
int length;
int NumberofNodes;
}BiTree;
BiTree BT;
bool InitBinaryTree(BiTree &BT)
{
BT.numberofnodes=8;
BT.data=new TElemType[NumberofNodes];
if(!BT) return false;
BT.length=0;
return true;
}
特点：
结点间关系蕴含在其存储位置中
缺点是存储普通二叉树浪费空间，尤其是单支树；非常适用于存储满二叉树和完全二叉树，两者空间利用率都是百分百
二叉树的链式存储
-
二叉链表
typedef struct BiNode { TElemType data; struct BiNode *left,*right; //左孩子和右孩子指针 }BiNode,*BiTree; -
三叉链表
typedef struct TriNode { TElemType data; struct TriNode *left,*right,*parent; }TriNode,*TriTree;
二叉树的遍历
遍历(Traversal)，是指沿着某条搜索，依次对树（或图）中每个结点均做一次访问。
遍历是二叉树插入、删除、修改、查找和排序操作的前提、基础和核心。
二叉树的遍历方式分为三种：
- DLR 先序遍历，即先根再左再右
- LDR 中序遍历，即先左再根再右
- LRD 后序遍历，即左根再右再根
tips：先中后都指的是根节点在遍历中的位置
如上图二叉树，三种遍历方式的路径:
先序：A->B->D->C->E->G->F
中序：D->B->A->E->G->C->F
后序：D->B->G->E->F->C->A
遍历算法的实现
- 先序遍历每个结点并打印以当前结点为根结点的二叉树
//先序遍历
bool PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL) return true; //遍历到空结点终止递进，开始回归
print(T); //打印以T为根结点的二叉树
PreOrderTraverse(T->left); //左子树递归
PreOrderTraverse(T->right); //右子树递归
}
二叉树递归灵魂三问：
- 找到整个递归的终止条件，递归在什么时候结束？
- 求返回值，应该给上一级返回什么信息？
- 本级递归应该做什么？
- 求出二叉树的最大深度
int deepth(TreeNode *root)
{
if(root==NULL) return 0; //空结点终止递进
int left=deepth(root->left); //遍历左子树并求其深度
int right=deepth(root->right);//遍历右子树并求其深度
return 1+Max(left,right); //返回本级二叉树的深度
}
- 二叉树叶子结点的个数
int LeadCount(BiTree T)
{
//空树返回0
if(T==NULL) return 0;
//叶子结点返回1
if(T->left==NULL && T->right==NULL) return 1;
//否则返回本级二叉树的叶子结点个数
return LeadCount(T->left) s+ LeadCount(T=>right);
}
总结
本文主要介绍了以下几点：
- 树和二叉树的定义
- 二叉树的基本特点和性质
- 二叉树的存储与遍历
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