一、树的基本概念

1、树的简介

之前我们都是在谈论一对一的线性数据结构，可现实中也有很多一对多的情况需要处理，所以我们就需要一种能实现一对多的数据结构--“树”。

2、树的定义

树（Tree）是一种非线性的数据结构，它是n(n >= 0)个结点组成的一个具有层次关系的有限集。之所以把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是它的根是朝上，而叶子是朝上的。

在n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1. 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
2. 当n>1时，其余结点可分为m(m > 0)个互不相交的有限集T1、T2、...... 、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。

注意：在树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不能是树形结构。 如果相交了，那就是图。

3、树的一些基本术语

就拿这张图来举例子

1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
2. 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
3. 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
4. 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
5. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
6. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
7. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9. 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
10. 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
11. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
12. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
13. 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

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二、树的存储结构

提及存储结构，那必然会想到两种常用的存储结构。一个是顺序存储结构，另一个则是链式存储结构。这两个存储结构在我们之前学习其他的数据结构中也学习过。

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解双亲表示法，孩子表示法以及孩子兄弟表示法。

1、双亲表示法

我们人可能因为种种原因，没有孩子，但无论是谁都不可能是从石头里蹦出来的（孙悟空除外，它显然不算是人），所以人一定就会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余的每个结点不一定有孩子，但一定有且一个双亲。

#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;              //树结点的数据类型，目前暂定为整形

typedef struct PTNode
{
    TElemType data;                //结点数据
    int parent;                    //双亲位置
}PTNode;

typedef struct
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组    
    int r,n;                        //根的位置和结点数
}

这样的存储结构，我们根据结点的 parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)。但麻烦的是如果想要知道结点的孩纸是谁，不好意思，请遍历整个结构才行。

2、孩子表示法

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

 

为此，需要设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，如下表所示

其中，child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标；next是指针域，用来存储指向某个结点的下一个孩子结点的指针。

另一个是表头数组的表头结点，如下表所示

其中，data是数据域，存储某个结点的数据信息；firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

#define max_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;                //树结点的数据类型，目前暂定为整形

typedef struct CTNode                 //孩子结点
{
    int child;
    struct CTNode* next;    
} *ChildPtr;

typedef strucct                        //表头结构
{
    TElemType data;
    ChildPTr firstchild;
}CTBox;

typedef struct                         //树结构
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];        //结点数组
    int r,n;                           //结点位置和结点数
}CTree;

 这样的数据结构对于我们要查找某个结点的孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。

但是如果想知道某个结点的双亲是谁？就需要遍历整棵树。所以就衍生出了将二者合二为一的方法：孩子兄弟表示法。

3、孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

 这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过firstchild找到此结点的长子，然后通过长子结点的nextbrother找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。

三、树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

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以上就是关于树的基本概念和存储结构的知识点。有关二叉树的内容会在下一个章节中再详细描述。