🥑原理：数字水印 | 奇异值分解 SVD 的定义、原理及性质

🥑参考：Python 机器学习笔记：奇异值分解（SVD）算法

正文

对于一个图像矩阵，我们总可以将其分解为以下形式：

通过选取不同个数 $\Sigma$ 矩阵中的奇异值，就可以实现图像的压缩。

如果你没有了解过原理，那么你当然看不懂这是什么意思😇

如果想要实现图像的压缩，那么可以先使用 $\mathsf{numpy}$ 库中的 linalg.svd 函数对图像矩阵进行分解，然后提取前 $k$ 个奇异值以实现 SVD 图像压缩效果。下面让我们看一下代码。

1 核心代码

定义 $svd\_compression$ 函数：

def svd_compression(img, k):
    res_image = np.zeros_like(img)

    for i in range(img.shape[2]):
        U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:, :, i])
        res_image[:, :, i] = U[:, :k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k, :])

    return res_image

参数说明：

• $\mathsf{img}$ 是待处理的图像
• $\mathsf{k}$ 用于设置选定前 $k$ 个奇异值

代码说明：

初始化 $res\_image$ 变量，用于存放处理结果：

res_image = np.zeros_like(img)

循环压缩每一个通道：

for i in range(img.shape[2]):
        U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:, :, i])
        res_image[:, :, i] = U[:, :k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k, :])

• 参数：$img.shape[2]$ 是图像的通道个数
• 第一行：对第 $i$ 个通道进行 SVD 分解
• 第二行：取前 $k$ 个奇异值重新构造图像

说明：由于 $\mathsf{Sigma}$ 矩阵除对角元素外，其余元素都为 $0$，因此 linalg.svd 函数将其处理为一维矩阵返回。在重新构造图像时，我们需要使用 np.diag 函数将其还原为对角矩阵。

2 完整代码

import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt


img = cv2.imread('white_bear.jpg')
img = img[:, :, [2, 1, 0]]
print('image shape is ', img.shape)


def svd_compression(img, k):
    res_image = np.zeros_like(img)

    for i in range(img.shape[2]):
        U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:, :, i])
        res_image[:, :, i] = U[:, :k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k, :])

    return res_image


# 保留前 k 个奇异值
res1 = svd_compression(img, k=300)
res2 = svd_compression(img, k=200)
res3 = svd_compression(img, k=100)
res4 = svd_compression(img, k=50)

plt.subplot(1, 5, 1)
plt.title("image", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(img, cmap='gray')

plt.subplot(1, 5, 2)
plt.title("image", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res1, cmap='gray')

plt.subplot(1, 5, 3)
plt.title("u", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res2, cmap='gray')

plt.subplot(1, 5, 4)
plt.title("s", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res3, cmap='gray')

plt.subplot(1, 5, 5)
plt.title("v", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(res4, cmap='gray')

plt.show()