文章目录

图的存储及基本操作

考纲内容

复习提示

1.邻接矩阵法

2.邻接表法

3.十字链表

4.邻接多重表

5.图的基本操作

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图的存储及基本操作

图的存储必须要完整、准确地反映顶点集和边集的信息。根据不同图的结构和算法，采用不同的存储方式将对程序的效率产生相当大的影响，因此所选的存储结构应适合于待求解的问题。

考纲内容

（一）图的基本概念

（二）图的存储及基本操作
           邻接矩阵；邻接表；邻接多重表；十字链表
（三）图的遍历
           深度优先搜索；广度优先搜索
（四）图的基本应用
           最小(代价)生成树；最短路径；拓扑排序；关键路径

复习提示

图算法的难度较大，主要掌握深度优先搜索与广度优先搜索。掌握图的基本概念及基本性质、图的存储结构(邻接矩阵、邻接表、邻接多重表和十字链表)及特性、存储结构之间的转化、基于存储结构上的各种遍历操作和各种应用(拓扑排序、最小生成树、最短路径和关键路径)等。

图的相关算法较多，通常只需掌握其基本思想和实现步骤，而实现代码不是重点。

1.邻接矩阵法

所谓邻接矩阵存储，是指用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中边的信息(即各顶点之间的邻接关系)，存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。

顶点数为n的图 G=(V,E)的邻接矩阵A是nxn的，将G的顶点编号为，则

【命题追踪——图的邻接矩阵存储及相互转换】

对带权图而言，若顶点和之间有边相连，则邻接矩阵中对应项存放着该边对应的权值，若顶点和不相连，则通常用0或∞来代表这两个顶点之间不存在边:

有向图、无向图和网对应的邻接矩阵示例如图 6.5 所示。

【命题追踪——（算法题）邻接矩阵的遍历及顶点的度的计算】

图的邻接矩阵存储结构定义如下:

#define MaxVertexNum 100          //顶点数目的最大值
typedef char VertexType;          //顶点对应的数据类型
typedef int Edgerype;             //边对应的数据类型
typedef struct{
    VertexType vex[MaxVertexNum]; //顶点表
    EdgeType edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，边表
    int vexnum,arcnum;            //图的当前顶点数和边数
}MGraph;

注意：

① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵(顶点信息等均可省略)。
② 当邻接矩阵的元素仅表示相应边是否存在时，EdgeType 可用值为0和1的枚举类型。

③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可采用压缩存储。

④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度为 O（n²），其中n为图的顶点数|V|。

【命题追踪——邻接矩阵的遍历的时间复杂度】

图的邻接矩阵存储表示法具有以下特点:

① 无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵(并且唯一)。因此，在实际存储邻接矩阵时只需存储上(或下)三角矩阵的元素。

【命题追踪——基于邻接矩阵的顶点的度的计算】

② 对于无向图，邻接矩阵的第i行(或第i列)非零元素(或非∞元素)的个数正好是顶点i的度 。

③ 对于有向图，邻接矩阵的第i行非零元素(或非∞元素)的个数正好是顶点i的出度;

第i列非零元素(或非∞元素)的个数正好是顶点i的入度。

④ 用邻接矩阵存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。但是，要确定图中有多少条边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很

大。

⑤ 稠密图(即边数较多的图)适合采用邻接矩阵的存储表示。

【命题追踪——计算A²并说明的含义】

⑥ 设图 G 的邻接矩阵为 A，的元素 等于由顶点i到顶点j的长度为 n的路径的数目。该结论了解即可，证明方法可参考离散数学教材。

2.邻接表法

当一个图为稀疏图时，使用邻接矩阵法显然会浪费大量的存储空间，而图的邻接表法结合了顺序存储和链式存储方法，大大减少了这种不必要的浪费。

所谓邻接表，是指对图 G中的每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点的边(对于有向图则是以顶点为尾的弧)，这个单链表就称为顶点的边表(对于有向图则称为出边表)。

边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储，称为顶点表，所以在邻接表中存在两种结点:顶点表结点和边表结点，如图6.6所示。

顶点表结点由两个域组成：顶点域(data)存储顶点的相关信息，边表头指针域(firstarc)指向第一条边的边表结点。

边表结点至少由两个域组成：邻接点域(adjvex)存储与头结点顶点邻接的顶点编号，指针域(nextarc)指向下一条边的边表结点。

【命题追踪——图的邻接表存储的应用】

无向图和有向图的邻接表的实例分别如图6.7和图6.8所示，

图的邻接表存储结构定义如下:

#define MaxVertexNum 100       //图中顶点数目的最大值
typedef struct ArcNode(        //边表结点
    int adjvex;                //该弧所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *nextarc;   //指向下一条弧的指针
    //InfoType info;           //网的边权值
}ArcNode;
typedef struct VNode{          //顶点表结点
    VertexType data;           //顶点信息
    ArcNode *firstarc;         //指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum】;
typedef struct{
    AdjList vertices;          //邻接表
    int vexnumarcnum;          //图的顶点数和弧数
}ALGraph;                      //ALGraph是以邻接表存储的图类型

图的邻接表存储方法具有以下特点:

① 若 G为无向图，则所需的存储空间为 O(|V|+2|E|)；若 G为有向图，则所需的存储空间为O(|V|+|E|)。

前者的倍数2是因为在无向图中，每条边在邻接表中出现了两次。

【命题追踪——邻接矩阵法和邻接表法的适用性差异】

② 对于稀疏图(即边数较少的图)，采用邻接表表示将极大地节省存储空间。

③ 在邻接表中，给定一个顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表。

在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为 O(n)。

但是，若要确定给定的两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低。

④ 在无向图的邻接表中，求某个顶点的度只需计算其邻接表中的边表结点个数。

在有向图的邻接表中，求某个顶点的出度只需计算其邻接表中的边表结点个数；

但求某个顶点x的入度则需遍历全部的邻接表，统计邻接点(adjvex)域为x的边表结点个数。

⑤ 图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的边表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边的输入次序。

3.十字链表

十字链表是有向图的一种链式存储结构。在十字链表中，有向图的每条弧用一个结点(弧结点)来表示，每个顶点也用一个结点(顶点结点)来表示。

两种结点的结构如下所示。

弧结点中有5个域：

• tailvex和 headvex 两个域分别指示弧尾和弧头这两个顶点的编号；
• 头链域 hlink 指向弧头相同的下一个弧结点；
• 尾链域 tlink 指向弧尾相同的下一个弧结点；
• info 域存放该弧的相关信息。

这样，弧头相同的弧在同一个链表上，弧尾相同的弧也在同一个链表上。

顶点结点中有3 个域：

• data 域存放该顶点的数据信息，如顶点名称；
• firstin 域指向以该顶点为弧头的第一个弧结点；
• firstout 域指向以该顶点为弧尾的第一个弧结点。

图 6.9为有向图的十字链表表示法。

注意，顶点结点之间是顺序存储的，弧结点省略了 info 域。

在十字链表中，既容易找到Vi 为尾的弧，也容易找到Vi为头的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。

图的十字链表表示是不唯一的，但一个十字链表表示唯一确定一个图。

4.邻接多重表

邻接多重表是无向图的一种链式存储结构。在邻接表中，容易求得顶点和边的各种信息，但在邻接表中求两个顶点之间是否存在边而对边执行删除等操作时，需要分别在两个顶点的边表中遍历，效率较低。

与十字链表类似，在邻接多重表中，每条边用一个结点表示，其结构如下所示。

其中，ivex 和 jvex 这两个域指示该边依附的两个顶点的编号；

ilink 域指向下一条依附于顶点 ivex 的边；

jlink 域指向下一条依附于顶点 jvex 的边，info 域存放该边的相关信息。

每个顶点也用一个结点表示，它由如下所示的两个域组成。

其中，data 域存放该顶点的相关信息，firstedge 域指向第一条依附于该顶点的边。

在邻接多重表中，所有依附于同一顶点的边串联在同一链表中，因为每条边依附于两个顶点，所以每个边结点同时链接在两个链表中。

对无向图而言，其邻接多重表和邻接表的差别仅在于，同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点。

图 6.10为无向图的邻接多重表表示法。邻接多重表的各种基本操作的实现和邻接表类似。

图的四种存储方式的总结如表 所示。

	邻接矩阵	邻接表	十字链表	邻接多重表
空间复杂度	O(|V|²)	无向图：O(|V|+2|E|) 有向图：O(|V|+|E|)	O(|V|+|E|)	O(|V|+|E|)
找相邻边	遍历对应行或列的时间复杂度为O(|V|)	找有向图的入度必须遍历整个邻接表	很方便	很方便
删除边或顶点	删除边很方便，删除顶点需要大量移动数据	无向图中删除边或顶点都不方便	很方便	很方便
适用于	稠密图	稀疏图和其他	只能存有向图	只能存无向图
表示方法	唯一	不唯一	不唯一	不唯一

5.图的基本操作

图的基本操作是独立于图的存储结构的。而对于不同的存储方式，操作算法的具体实现会有着不同的性能。

在设计具体算法的实现时，应考虑采用何种存储方式的算法效率会更高。

图的基本操作主要包括(仅抽象地考虑，所以忽略各变量的类型):

• Adjacent(G,x,y)：判断图 G 是否存在边<x,y>或(x,y)。
• Neighbors(G,x)：列出图G中与结点x邻接的边。
• InsertVertex(G,x)：在图G中插入顶点x。
• DeleteVertex(G,x)：从图G中删除顶点x。
• AddEdge(G,x,y)：若无向边(x,y)或有向边<x,y>不存在，则向图G中添加该边。
• RemoveEdge(G,x,y)：若无向边(x,y)或有向边<x,y>存在，则从图G中删除该边
• FirstNeighbor(G,x)：求图G中顶点 x的第一个邻接点，若有则返回顶点号。若x没有邻接点或图中不存在x，则返回 -1。
• NextNeighbor(G,x,y)：假设图G 中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回除y外顶点x的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，则返回-1。
• Get_edge_value(G,x,y)：获取图 G 中边(x,y)或<x,y>对应的权值。
• Set_edge_value(G,x,y,v)：设置图G 中边(x,y)或<x,y>对应的权值为 v。

此外，还有图的遍历算法：按照某种方式访问图中的每个顶点且仅访问一次。

图的遍历算法包括深度优先遍历和广度优先遍历，具体见下一节的内容。