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题目描述

给定两个单词（beginWord 和 endWord）和一个字典 wordList，找出所有从 beginWord 到 endWord 的最短转换序列的转换过程，转换需遵循如下规则：

1. 每次转换只能改变一个字母。
2. 转换过程中的中间单词必须在字典 wordList 中。

说明:

• 如果不存在这样的转换序列，返回一个空列表。
• 所有单词具有相同的长度。
• 所有单词只包含小写字母。
• 字典 wordList 是非空的，且不包含重复的单词。
• beginWord 和 endWord 是非空的，且不相同。

示例:

输入:

beginWord = "hit",
endWord = "cog",
wordList = ["hot","dot","dog","lot","log","cog"]

输出:

[
  ["hit","hot","dot","dog","cog"],
  ["hit","hot","lot","log","cog"]
]

方法一：广度优先搜索（BFS）+ 回溯

解题步骤

1. 使用 BFS 确定最短路径长度并记录每个单词的所有可能前驱词。
2. 从 endWord 开始，使用回溯法根据前驱词列表构造所有有效路径。

Python 示例

from collections import defaultdict, deque

def findLadders(beginWord, endWord, wordList):
    if endWord not in wordList:
        return []
    
    wordList = set(wordList)
    layer = {}
    layer[beginWord] = [[beginWord]]

    while layer:
        newlayer = defaultdict(list)
        for word in layer:
            if word == endWord:
                return layer[word]
            for i in range(len(word)):
                for c in 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz':
                    newword = word[:i] + c + word[i+1:]
                    if newword in wordList:
                        newlayer[newword] += [j + [newword] for j in layer[word]]
        
        wordList -= set(newlayer.keys())
        layer = newlayer
    
    return []

# Example usage
beginWord = "hit"
endWord = "cog"
wordList = ["hot","dot","dog","lot","log","cog"]
print(findLadders(beginWord, endWord, wordList))

算法分析

• 时间复杂度: O(N * M^2)，N 是 wordList 的长度，M 是单词的长度。
• 空间复杂度: O(N * M)，存储转换路径所需空间。

方法一：广度优先搜索（BFS）+ 回溯 图解说明

在方法一中，我们使用广度优先搜索（BFS）和回溯的组合来解决单词接龙 II 问题。这种方法的核心在于逐层扩展当前单词，直到找到目标单词 endWord。图解的详细步骤如下：

1. 初始化：

   • 创建一个字典 layer 来存储每一层的单词及其对应的路径。初始时，layer 包含 beginWord 和它自身构成的路径（["hit"]）。

2. 广度优先搜索：

   • 遍历当前层的每个单词，尝试改变单词中的每一个字符，用 26 个字母替换，生成新的单词。
   • 检查每个新生成的单词是否在 wordList 中。如果在，将其加入到下一层的搜索中，并记录路径。
   • 重要的是，一旦一个单词被用于构建路径，它就会从 wordList 中移除，这避免了重复访问并减少了搜索空间。

3. 路径记录：

   • 对于每个有效的转换单词，我们更新 newlayer 字典，将新单词的路径扩展为从上一层单词衍生出的所有可能路径。
   • 例如，从 “hit” 到 “hot”，如果 “hot” 能转换为 “dot” 和 “lot”，则路径更新为从 “hit” 到 “hot” 再到这些单词的路径。

4. 检查终点：

   • 在每层搜索结束时，检查 endWord 是否已经出现在当前层的路径中。如果出现，就意味着找到了最短路径，函数返回当前层对应的 endWord 的所有路径。

5. 循环继续：

   • 更新 layer 为 newlayer，进行下一轮层的搜索，直到找到 endWord 或者没有新单词可以搜索。

示意图

考虑 beginWord = "hit", endWord = "cog", wordList = ["hot","dot","dog","lot","log","cog"] 的情况：

Layer 0: hit
         |
Layer 1: hot
        / \
Layer 2:dot lot
       /    \
Layer 3:dog  log
       \     /
Layer 4:  cog

在这个示意图中，广度优先搜索首先找到与 “hit” 一个字母不同的所有单词（即 “hot”），然后再从 “hot” 扩展到 “dot” 和 “lot”，以此类推，直到到达 “cog”。每一步都保证是最短的可能路径，因为我们是逐层扩展的。

方法二：双向广度优先搜索（Bi-directional BFS）

解题步骤

1. 从 beginWord 和 endWord 同时开始搜索，每次扩展较小的层。
2. 当两个搜索方向在中间某处相遇时，使用所有累积的路径构建最终路径。

Python 示例

def findLadders(beginWord, endWord, wordList):
    if endWord not in wordList:
        return []
    tree, words, n = defaultdict(set), set(wordList), len(beginWord)
    if beginWord in words: words.remove(beginWord)
    found, q, nq = False, {beginWord}, set()
    while q and not found:
        words -= set(q)
        for x in q:
            for y in [x[:i] + c + x[i + 1:] for i in range(n) for c in 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz']:
                if y in words:
                    if y == endWord: found = True
                    else: nq.add(y)
                    tree[x].add(y)
        q, nq = nq, set()

    def bt(x): return [[x]] if x == endWord else [[x] + rest for y in tree[x] for rest in bt(y)]
    return bt(beginWord)

# Example usage
beginWord = "hit"
endWord = "cog"
wordList = ["hot","dot","dog","lot","log","cog"]
print(findLadders(beginWord, endWord, wordList))

算法分析

• 时间复杂度: O(N * M^2)，类似于单向 BFS。
• 空间复杂度: O(N * M)，需要存储中间状态和构建路径。

算法图解与说明

双向广度优先搜索可以更快地找到路径因为它从两端同时搜索，减少了搜索的广度。

这两种方法都可以有效地找出所有最短的从 beginWord 到 endWord 的路径，第二种方法通常更快，尤其是在大数据集上。

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