问题描述

将 3 分解成两个正整数的和, 有两种分解方法, 分别是3=1+2 和 3=2+1 。注意顺序不同算不同的方法。

将 5 分解成三个正整数的和, 有 6 种分解方法, 它们是

1+1+3 = 1+2+2 = 1+3+1 = 2+1+2 = 2+2+1 = 3+1+1。

请问, 将 2021 分解成五个正整数的和, 有多少种分解方法?

答案提交

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。

本题答案：691677274345。

思路分析

填空题，所以我们只要得出答案就行，直接暴力模拟。

我们可以将公式看成一个个格子，如: 口 + 口 + 口 + 口 + 口 = 2021。

如果我们直接5个嵌套for，肯定超时，所以我们需要做一下分类，尽量不要嵌套那么多层。

那么我们就将五个格子分成两份，一份是：口+口+口 < 2021，另一份根据第一份得出来的值在继续模拟。

就变成了（口+口+口）+口+口 = 2021。对于括号里面的三个口，我们可以开一个数组，用下标代表对应的值，比如(1+2+3) 就是array[6] ，然后让对应位置的值+1。

就是使用hash法，用数组记录括号里的值和可以得到该值的方案数，也就是key-对应值，value-对应该值的方案数，我们用数组来记录。

简单来说，我们需要一个数组，下标代表括号里面的值，该下标处的值代表能够得到这个值的方案数，比如 array[4] ,他可以是1+1+2,也就是是1+2+1,也可以是2+1+1等等，我们就假设4这个下标（括号内的值），的方案数是3,我们之后匹配剩余的两个括号的时候，就变成了（4）+ 口 +口 = 2021，然后4这个值有3种方案得到，然后当前的两个空格也算是一种方案，所以当前这条式子的方案数是3*1 = 3。

所以当 (4) + 口 + 口 =2021的时候，我们直接把 array[4]的方案数添加到我们的记录变量中，因为值很大，需要用long long 或者大数运算。

至于剩余的两个口，就需要我们用双层for嵌套来跑相应的值了哦。

代码如下，跑了3.8s，但是填空题嘛，出答案就算成功~

import java.math.*;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //结果很大，只能用大数
        BigInteger res = new BigInteger("0");

        //开hash表记录三个整数和的方案数量
        int[] hash = new int[2021];

        //记录程序开始时间
        long startTime = System.currentTimeMillis();

        //先统计前面三个整数的和
        for(int i = 1;i<2021;i++) {
            for(int j = 1;j<2021;j++) {
                for(int k = 1;k<2021;k++){
                    if(i+j+k < 2021) hash[i+j+k]++;
                }
            }
        }

        //再统计后面两个整数的和
        for(int i = 1;i<2021;i++) {
            for(int j = 1;j<2021;j++) {
                if(i+j < 2021) res = res.add( new BigInteger(hash[2021-i-j]+"") );
            }
        }
        
        //记录程序结束时间
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        
        //打印结果
        System.out.println(res.toString());
        //打印程序运行时间
        System.out.println("耗时："+(endTime-startTime)+" ms");
    }
}

运行结果：