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题目描述
给定一个非负索引 rowIndex，返回杨辉三角的第 rowIndex 行。在这里，rowIndex 从 0 开始。
此题与生成杨辉三角的完整图形略有不同，要求的是能够直接计算出杨辉三角的某一特定行。因此，优化算法的空间复杂度是关键。
方法一：线性迭代
解题步骤：
- 初始化结果列表为
[1]。 - 使用迭代方法更新列表，以模拟杨辉三角的每一行的计算。
- 对于每一行，从后向前更新，利用上一行的值计算当前行的值，避免前值被提前覆盖。
Python 代码示例
def getRow(rowIndex):
row = [1] * (rowIndex + 1)
for i in range(2, rowIndex + 1):
for j in range(i - 1, 0, -1):
row[j] += row[j - 1]
return row
方法一使用线性迭代的方式计算杨辉三角的特定一行，这里通过 ASCII 图形来展示这个方法的工作过程，特别是如何迭代更新列表元素来模拟杨辉三角中的每一行的构建。
杨辉三角的特定行构建过程：线性迭代
假设我们需要计算杨辉三角的第5行（rowIndex = 4，从0开始计数）。
初始状态
- 初始化包含单个元素
1的列表，代表杨辉三角的第0行。
[1]
第1行
- 迭代更新，添加一个
1，现在列表代表第1行。
[1, 1]
第2行
- 开始第一个真正的迭代，将列表更新为第2行。先复制前一个元素，然后从后向前更新每个元素（除了第一个和最后一个，它们始终是
1）。
[1, 2, 1]
更新过程：
- 原始列表：
[1, 1] - 插入新的第二元素（第一个元素 + 第二个元素）：
[1, 2, 1]
第3行
- 继续迭代更新为第3行。
[1, 3, 3, 1]
更新过程：
- 原始列表：
[1, 2, 1] - 插入新的第二元素（第一个元素 + 第二个元素）：
[1, 3, 1] - 插入新的第三元素（第二个元素 + 第三个元素）：
[1, 3, 3, 1]
第4行
- 最后迭代更新为第4行。
[1, 4, 6, 4, 1]
更新过程：
- 原始列表：
[1, 3, 3, 1] - 插入新的第二元素（第一个元素 + 第二个元素）：
[1, 4, 3, 1] - 插入新的第三元素（第二个元素 + 第三个元素）：
[1, 4, 6, 1] - 插入新的第四元素（第三个元素 + 第四个元素）：
[1, 4, 6, 4, 1]
总结步骤
- 开始时列表只有一个元素
1。 - 对于每一新行，从后向前更新列表中的每个元素，使得每个元素等于它自身加上前一个元素的值。
- 这个过程不断重复，直到达到所需的行。
通过这种方式，可以在不需要计算整个杨辉三角的情况下，直接生成所需行的元素，极大地优化了空间和时间效率。
方法二：使用公式（组合数）
解题步骤：
Python 代码示例
def getRow(rowIndex):
row = [1] * (rowIndex + 1)
for i in range(1, rowIndex // 2 + 1):
row[i] = row[rowIndex - i] = row[i - 1] * (rowIndex - i + 1) // i
return row
方法三：递归与缓存
解题步骤：
- 使用递归函数通过前一行计算当前行。
- 使用一个缓存（字典）来存储已计算过的行，避免重复计算。
Python 代码示例
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def getRow(rowIndex):
if rowIndex == 0:
return [1]
elif rowIndex == 1:
return [1, 1]
previous_row = getRow(rowIndex - 1)
row = [1] + [previous_row[i] + previous_row[i + 1] for i in range(rowIndex - 1)] + [1]
return row
算法分析
- 时间复杂度：
- 方法一：(O(n^2))，其中 (n) 是行号。
- 方法二：(O(n))，利用了数学公式直接计算，但每个计算涉及乘除操作。
- 方法三：(O(n^2))，虽然有缓存，但每行的计算仍需之前所有行的数据。
- 空间复杂度：
- 方法一和二：(O(n))，只存储需要的一行数据。
- 方法三：由于缓存和递归的调用栈，空间复杂度较高。
不同算法的优劣势对比
- 线性迭代（方法一）简单高效，适合大多数实现场景。
- 使用公式（方法二）空间和时间效率高，但在实现时需注意数值运算的精度和效率。
- 递归与缓存（方法三）易于理解和实现，但空间复杂度较高，适用于对空间复杂度要求不高的场景。
应用示例
这些方法可以用在需要快速计算组合数的场景，例如统计学中的概率计
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