文章目录

• • @[toc]
  • • 问题描述
    • 回溯算法
    • `Python`实现
    • 时间复杂性

问题描述

• 给定无向图$G=(V,E)$，如果$U\subseteq V$，且对任意$u$，$v\in U$有$(u,v)\in E$，则称$U$是$G$的完全子图

• $G$的完全子图$U$是$G$的一个团当且仅当$U$不包含在$G$的更大的完全子图中，$G$的最大团是指$G$中所含顶点数最多的团

• 如果$U\subseteq V$且对任意$u$，$v\in U$，有$(u,v)\notin E$，则称$U$是$G$的空子图

• $G$的空子图$U$是$G$的独立集当且仅当$U$不包含在$G$的更大的空子图中，$G$的最大独立集是$G$中所含顶点数最多的独立集

• 对于任意无向图$G=(V,E)$，其补图$\bar{G}=(V^{{}^{\prime }},E^{{}^{\prime }})$定义为：$V^{{}^{\prime }}=V$， E ′ = {   ( u , v ) ∣ ( u , v ) ∉ E   } E^{'} = \set{(u , v) \mid (u , v) \notin E} E′={(u,v)∣(u,v)∈/E}

• 如果$U$是$G$的完全子图，则它是$\bar{G}$的空子图，反之亦然，因此，$G$的团与$\bar{G}$的独立集之间存在一一对应关系，特别地，$U$是$G$的最大团，当且仅当$U$是$\bar{G}$的最大独立集

• 无向图$G$和$G$的补图$\bar{G}$如下图所示

---

回溯算法

• 图$G$的最大团和最大独立集问题都可以看作图$G$的顶点集$V$的子集选取问题，因此，可用子集树表示问题的解空间，解最大团问题的回溯法与解装载问题的回溯法十分相似
• 设当前扩展结点$Z$位于解空间树的第$i$层，在进入左子树前，必须确认从顶点$i$到已选入的顶点集中每个顶点都有边相连，在进入右子树前，必须确认还有足够多的可选择顶点，使得算法有可能在右子树中找到更大的团

---

Python实现

def find_maximum_clique(graph):
    n = len(graph)
    vertices = list(range(n))

    max_clique = []

    def is_clique(current_clique):
        # 约束函数: 判断给定的顶点集合是否构成一个团(完全子图)
        for i in range(len(current_clique)):
            for j in range(i + 1, len(current_clique)):
                if not graph[current_clique[i]][current_clique[j]]:
                    return False

        return True

    def bound(current_clique, vertices):
        # 限界函数
        return len(current_clique) + len(vertices)

    def backtrack(vertices, current_clique):
        nonlocal max_clique

        if not vertices:
            if len(current_clique) > len(max_clique):
                max_clique.clear()
                max_clique.extend(current_clique)

            return

        vertex = vertices.pop(0)
        current_clique.append(vertex)

        neighbors = []
        for v in vertices:
            if graph[vertex][v]:
                neighbors.append(v)

        # 选择当前顶点并加入团
        if is_clique(current_clique):
            backtrack(neighbors, current_clique)

        # 恢复回溯前状态
        current_clique.pop()

        # 不选择当前顶点
        if bound(current_clique, vertices) > len(max_clique):
            backtrack(vertices, current_clique)

    backtrack(vertices, [])

    return max_clique


graph = [
    [0, 1, 0, 1, 1],
    [1, 0, 1, 0, 1],
    [0, 1, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [1, 1, 1, 1, 0]
]

maximum_clique = find_maximum_clique(graph)

print(f'最大团: {maximum_clique}')

最大团: [0, 1, 4]

---

时间复杂性

• 解最大团问题的回溯算法所需的计算时间为$O(n{2}^n)$

---