2019年计算机真题
离散数学
一、用逻辑符号表达下列语句(论域为包含一切事物的集合)
1）过平面上的两个点，有且仅有一条直线通过。
解: (1)
P
(
x
,
y
)
:
x
,
y
\mathrm{P}_{(\mathrm{x}, \mathrm{y})}: \mathrm{x}, \mathrm{y}
P(x,y):x,y 是平面上的两个点。
Q
(
x
,
y
,
z
)
:
z
\mathrm{Q}_{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})}: \mathrm{z}
Q(x,y,z):z 是
x
\mathrm{x}
x 和
y
\mathrm{y}
y 的直线;
R
(
x
,
y
)
:
x
\mathrm{R}_{(\mathrm{x}, \mathrm{y})}: \mathrm{x}
R(x,y):x 和
y
\mathrm{y}
y 相同。
∀
x
∀
y
∀
z
∃
w
P
(
x
,
y
)
∧
Q
(
x
,
y
,
z
)
∧
Q
(
x
,
y
,
w
)
→
R
(
z
,
w
)
\forall x \forall y \forall z \exists w P_{(x, y)} \wedge Q_{(x, y, z)} \wedge Q_{(x, y, w)} \rightarrow R_{(z, w)}
∀x∀y∀z∃wP(x,y)∧Q(x,y,z)∧Q(x,y,w)→R(z,w)
2）并不是所有的士兵都想当将军，而且不想当将军的士兵未必不是好士兵（一种形式，包含全称量词和存在量词）。
(2) P_{(x)}: x 是士兵; Q_{(x)} : 相当将军; R_{(x)}: x 是好士兵。
∀
x
P
(
x
)
→
Q
(
x
)
∧
∃
x
(
¬
Q
(
x
)
∧
R
(
x
)
)
\forall \mathrm{xP}_{(\mathrm{x})} \rightarrow \mathrm{Q}_{(\mathrm{x})} \wedge \exists \mathrm{x}\left(\neg \mathrm{Q}_{(\mathrm{x})} \wedge \mathrm{R}_{(\mathrm{x})}\right)
∀xP(x)→Q(x)∧∃x(¬Q(x)∧R(x))
二、填空题
1.集合A={1,2,3,4,5,6,7}, A上的一个划分R={{1,2},{3,4,5},{6,7}}.那么所对应的等价关系R包含的有序对的个数是( )个.定义偏序关系为集合A上的整除关系,则这个偏序关系上含有的有序对个数是( )个.集合A上有( )个既是对称又是反对称的关系。
3.一个商店提供了3种不同的钢笔，假设顾客小王进店时，每种钢笔至少有5支.则小王选5支钢笔的方式有( )种.
4.设Km,n是两部分分别有m和n个顶点的完全二部图,则Km,n的着色数是( 2 )。
5.设树T的顶点集合为V={v1, v2, …, vn}, T的平均度为,请用D表示出树T的顶点个数n=( )
三、计算题
1）个体域{a,b,c},将下列公式写成命题逻辑公式（）P(x) -> ()Q(y)
- 计算下式的主析取范式和主合取范式（） 用极小项和极大项数字表示简洁。
四、解答题
四、解答题
- 写出集合A上的一种关系，它既是等价关系，又是偏序关系，并简要说明这种关系的特点。
解析：设集合
A
=
{
a
,
b
，
c
}
A=\{a, b ， c\}
A={a,b，c} ，等价关系满足的条件是：自反，对称，传递；而满足偏序关系的条件是：自反，反对称，传递。条件中A的关系 R 需满足等价和偏序关系，也就是 R 必须满足既是对称又是反对称关系。则
R
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
=
y
}
R=\{<x, y>\mid x=y\}
R={<x,y>∣x=y} 即关系矩阵对角线上的数都为1，因此该关系为集合A上的每个元素自成环，无其他关系路径。
2.求满足递推关系
h
n
=
h
n
−
1
+
9
h
n
−
2
−
9
h
n
−
3
h_{n}=h_{n-1}+9 h_{n-2}-9 h_{n-3}
hn=hn−1+9hn−2−9hn−3 中
h
n
h_{n}
hn 的表达式，其中
n
≥
3
n \geq 3
n≥3 ，初始条件
h
0
=
0
,
h
1
=
1
,
h
2
=
2
h_{0}=0, h_{1}=1, h_{2}=2
h0=0,h1=1,h2=2
解析: 本题考的是常系数齐次递推关系。题中原式转化成
h
n
−
h
n
−
1
−
9
h
n
−
2
+
9
h
n
−
3
=
0
h_{n}-h_{n-1}-9 h_{n-2}+9 h_{n-3}=0
hn−hn−1−9hn−2+9hn−3=0 ，因此该式特征方程为
q
3
−
q
2
−
9
q
+
9
=
0
q
2
(
q
−
1
)
−
9
(
q
−
1
)
=
0
⇒
(
q
2
−
9
)
(
q
−
1
)
=
0
q^{3}-q^{2}-9 q+9=0 q^{2}(q-1)-9(q-1)=0 \Rightarrow\left(q^{2}-9\right)(q-1)=0
q3−q2−9q+9=0q2(q−1)−9(q−1)=0⇒(q2−9)(q−1)=0 。得到特征根
q
1
=
−
3
,
q
2
=
3
,
q
3
=
1
q_{1}=-3, q_{2}=3, q_{3}=1
q1=−3,q2=3,q3=1 。三个特征无重根，则该 h_{n} 的一般解为:
H
n
=
C
1
q
1
n
+
C
2
q
2
n
+
C
3
q
3
n
H_{n}=C_{1} q_{1}^{n}+C_{2} q_{2}^{n}+C_{3} q_{3}^{n}
Hn=C1q1n+C2q2n+C3q3n 把三个特征根代入式子中可得
H
n
=
C
1
(
−
3
)
n
+
C
2
(
3
)
n
+
C
3
(
1
)
n
=
C
1
(
−
3
)
n
+
C
2
3
n
+
C
3
H_{n}=C_{1}(-3)^{n}+C_{2}(3)^{n}+C_{3}(1)^{n}=C_{1}(-3)^{n}+C_{2} 3^{n}+C_{3}
Hn=C1(−3)n+C2(3)n+C3(1)n=C1(−3)n+C23n+C3 。把
h
0
=
0
,
h
1
=
1
,
h
2
=
2
h_{0}=0, h_{1}=1, h_{2}=2
h0=0,h1=1,h2=2 代入
H
n
H_{n}
Hn 得到三个等式
H 0 = C 1 + C 2 + C 3 = 0 ; H 1 = − 3 C 1 + 3 C 2 + C 3 = 1 ; H 2 = 9 C 1 + 9 C 2 + C 3 = 2 H_{0}=C_{1}+C_{2}+C_{3}=0 ; \quad H_{1}=-3 C_{1}+3 C_{2}+C_{3}=1 ; \quad H_{2}=9 C_{1}+9 C_{2}+C_{3}=2 H0=C1+C2+C3=0;H1=−3C1+3C2+C3=1;H2=9C1+9C2+C3=2 .
解这三个三元一次方程组得 : C 1 = − 1 12 , C 2 = 1 3 , C 3 = − 1 4 C_{1}=-\frac{1}{12}, C_{2}=\frac{1}{3}, C_{3}=-\frac{1}{4} C1=−121,C2=31,C3=−41 代入得解
H n = − 1 12 ∗ ( − 3 ) n + 1 3 ∗ 3 n − 1 4 = 1 4 ∗ ( − 3 ) ( n − 1 ) + 3 ( n − 1 ) − 1 4 H_{n}=-\frac{1}{12} *(-3)^{n}+\frac{1}{3} * 3^{n}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4} *(-3)^{(n-1)}+3^{(n-1)}-\frac{1}{4} Hn=−121∗(−3)n+31∗3n−41=41∗(−3)(n−1)+3(n−1)−41
- 设序列 { a i } \left\{a_{i}\right\} {ai} 的母函数是 A ( x ) A_{(x)} A(x) ，序列 { b i } \left\{b_{i}\right\} {bi} 的母函数是 B ( x ) B_{(x)} B(x) ，如果 b k = ∑ i = 0 k a i b_{k}=\sum_{i=0}^{k} a_{i} bk=∑i=0kai ，且 B ( x ) = f ( x ) A ( x ) B_{(x)}=f_{(x)} A_{(x)} B(x)=f(x)A(x) ，求 f ( x ) f_{(x)} f(x) 。
解析: 有题可知 A ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i A_{(x)}=\sum_{i=0}^{\infty} a_{i} x^{i} A(x)=∑i=0∞aixi，且 b k = ∑ i = 0 k a i b_{k}=\sum_{i=0}^{k} a_{i} bk=∑i=0kai，得
B ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( ∑ j = 0 i a j ) x i = a 0 x 0 + ( a 0 x 1 + a 1 x 1 ) + ( a 0 x 2 + a 1 x 2 + a 2 x 2 ) + … + ( a 0 x n + a 1 x n + … + a n x n ) + … B_{(x)}=\sum_{i=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{i} a_{j}\right) x^{i} = a_{0} x^{0}+\left(a_{0} x^{1}+a_{1} x^{1}\right)+\left(a_{0} x^{2}+a_{1} x^{2}+a_{2} x^{2}\right)+\ldots+\left(a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n}+\ldots+a_{n} x^{n}\right)+\ldots B(x)=∑i=0∞(∑j=0iaj)xi=a0x0+(a0x1+a1x1)+(a0x2+a1x2+a2x2)+…+(a0xn+a1xn+…+anxn)+…
= a 0 ( x 0 + x 1 + … + x n + … ) + a 1 x ( x 0 + x 1 + … + x n + … ) + a 2 x 2 ( x 0 + x 1 + … + x n + … ) + … =a_{0}\left(x^{0}+x^{1}+\ldots+x^{n}+\ldots\right)+a_{1} x\left(x^{0}+x^{1}+\ldots+x^{n}+\ldots\right)+a_{2} x^{2}\left(x^{0}+x^{1}+\ldots+x^{n}+\ldots\right)+\ldots =a0(x0+x1+…+xn+…)+a1x(x0+x1+…+xn+…)+a2x2(x0+x1+…+xn+…)+…
= a 0 1 1 − x + a 1 x 1 1 − x + a 2 x 2 1 1 − x + … =a_{0} \frac{1}{1-x}+a_{1} x \frac{1}{1-x}+a_{2} x^{2} \frac{1}{1-x}+\ldots =a01−x1+a1x1−x1+a2x21−x1+…
= 1 1 − x ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … ) =\frac{1}{1-x} \left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots\right) =1−x1(a0+a1x+a2x2+…)
= 1 1 − x A ( x ) =\frac{1}{1-x} A_{(x)} =1−x1A(x)
又由于
B
(
x
)
=
f
(
x
)
A
(
x
)
B_{(x)}=f_{(x)} A_{(x)}
B(x)=f(x)A(x)，所以
f
(
x
)
=
1
1
−
x
f_{(x)}=\frac{1}{1-x}
f(x)=1−x1。
五、证明题
证明下面恒等式
表示n元素中取i个的组合数。
计算机网络
一、填空题
1.以太网的争用期是指（），以太网发送数据使用（）编码
2.一个广域网传输比特率是4Kbps，传播时延为20ms，若采用停-等协议效率是50%，帧长至少为（160）位
3.一个网段的网络号为 130.10 .3 .0 / 21 , 子网掩码可以写为 (255.255.248.0)
4, T C P \mathrm{TCP} TCP 协议中发送窗口的大小应该由（拥塞）窗口和（接收）窗口中较小的一个决定
