62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

1、动态规划

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m<=1||n<=1)return 1;//排除行列为1的情况
        int[][] dp = new int[m][n];//定义dp数组为某行某列达到的路径数
        for(int i = 0;i < m;i++){
            dp[i][0] = 1;//初始化数组，第一行第一列的路径数都是1
        }
        for(int i = 0;i < n;i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1;i < m;i++){
            for(int j = 1;j < n;j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];//每一个点的路径数都是由它的上方和左方推出
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];//返回右下角的路径数
    }
}

2、卡尔的数论解法

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};

作者：代码随想录
链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths/solutions/2562792/dai-ma-sui-xiang-lu-leetcode62bu-tong-lu-ncye/
来源：力扣（LeetCode）
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