以电影评分系统为例，令 r(i, j) 来表示用户 j 已经对电影 i 评分， y（i, j）表示评分具体是多少。

假如每部电影有自己的特征，那么用户 j 对电影 i 的评分预测为 w(j) * x(i) + b(j)

r(i, j) ：一个用户 j 是否对电影 i 进行了评分， 1 为已评

y(i, j)：用户 j 对电影 i 的评分

w(j) b(j)：用户 j 的参数

x(i)：电影 i 的特征向量

成本函数如下，最后一项是正则化项。其中除以m(j)可以忽略，因为是常数。

 对于所有用户，成本函数只需要把这 nu 个用户的成本函数加起来即可。

假设我们不知道电影的特征向量 x，而Alice给第一部电影评分为5，Bob给第二部电影评分为5，可得 w1*x1约为5，w2*x1约为5，找到一个合适的向量 x 满足方程组即可。注意，只有一个用户的时候是算不出来的。

学习 x 的成本函数

 协同过滤：将多个用户的信息收集起来帮助预测其他用户的评分

将上面两个学习 w b和学习 x 的成本函数加到一起

此时的梯度下降不仅要考虑 w b，还要考虑 x