在本文中，我们将探讨如何修改van Emde Boas (vEB) 树以支持带有卫星数据的关键字。卫星数据是指与主数据（在vEB树中为整数关键字）相关联的额外信息。在许多应用场景中，除了基本的关键字外，我们还需要存储和检索与这些关键字相关的附加信息，例如在数据库系统中，每个键可能都与一个记录相关联。

1. 引言

vEB树是一种动态数据结构，能够支持在O(log log u)时间内的多种操作，其中u是树中最大可能的元素值。在原始的vEB树实现中，每个节点存储的是一个整数集合，而没有考虑到与这些整数相关的额外数据。为了支持卫星数据，我们需要对vEB树的结构和操作进行一些扩展。

2. vEB树的基本概念

在深入讨论如何修改vEB树以支持卫星数据之前，让我们先简要回顾一下vEB树的基本概念。vEB树是一种层次结构，其中每个节点包含以下信息：

• min 和 max：分别存储当前子树中的最小和最大元素。
• summary：指向一个较小的vEB树，表示当前节点中所有非空子树的总结信息。
• cluster：一个数组，其中的每个元素都是指向较小vEB树的指针，表示当前节点的子节点。

3. 支持卫星数据的vEB树设计

为了支持卫星数据，我们需要对vEB树中的每个节点进行扩展，以便它们可以存储与关键字相关的卫星数据。我们可以通过以下方式进行修改：

3.1 数据结构的扩展

每个vEB树节点除了存储整数外，还需要存储一个指向卫星数据的指针。在C语言中，我们可以定义一个新的结构体来表示这个扩展：

typedef struct {
    int key;                // 关键字
    void* satellite_data;   // 指向卫星数据的指针
} KeyWithData;

typedef struct vEBNode {
    KeyWithData min;        // 当前子树的最小元素
    KeyWithData max;        // 当前子树的最大元素
    struct vEBNode* summary; // 指向summary树的指针
    KeyWithData* cluster[1 << (lg_u - 1)]; // 指向子树的数组
} vEBTree;

在这里，lg_u是u的对数，用于确定cluster数组的大小。

3.2 操作的修改

所有vEB树的操作，如INSERT、DELETE、FIND、SUCCESSOR和PREDECESSOR，都需要修改以处理卫星数据。以INSERT操作为例，我们需要更新伪代码以包括卫星数据：

vEB-TREE-INSERT(V, x, data)
1. if V.min == NIL
2.     V.min = (key, data)
3.     V.max = V.min
4. else
5.     if x < V.min.key
6.         Temp = V.min
7.         V.min = (key, data)
8.         vEB-TREE-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x), Temp)
9.     else if x > V.max.key
10.        V.max = (key, data)
11.        vEB-TREE-INSERT(V.summary, high(x), (low(x), Temp))
12.    else
13.       vEB-TREE-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x), (key, data))

在这个伪代码中，x是要插入的关键字，data是与x关联的卫星数据。我们首先检查vEB树是否为空，然后根据x与当前节点的min和max的关系，决定将x插入到哪个子树中。

3.3 卫星数据的存储和检索

在上述结构中，卫星数据通过指针存储。这意味着我们需要额外的内存来存储这些数据，并且需要在插入关键字时分配内存，在删除关键字时释放内存。

4. 详细设计和实现

为了支持卫星数据，我们需要定义一个结构体来保存关键字和其卫星数据，以及修改vEB树的节点结构来包含这个新结构体。

4.1 定义卫星数据结构体

假设卫星数据是一个简单的字符串，我们可以定义如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

typedef struct SatelliteData {
    char* info; // 指向卫星数据的指针
} SatelliteData;

typedef struct KeyWithData {
    int key;             // 关键字
    SatelliteData data;  // 卫星数据
} KeyWithData;

4.2 修改vEB树节点结构

vEB树的每个节点现在需要存储KeyWithData类型的最小和最大值，以及指向其子节点的数组。

typedef struct vEBNode {
    KeyWithData min;
    KeyWithData max;
    struct vEBNode* summary;
    struct vEBNode* cluster[1 << (lg_u - 1)]; // lg_u是u的对数，用于确定cluster数组的大小
} vEBTree;

4.3 插入操作的伪代码

以下是插入操作的伪代码，包括卫星数据的处理：

vEB-TREE-INSERT(V, x, satelliteInfo)
1. if V.min.key == NIL
2.     V.min = (x, satelliteInfo)
3.     V.max = V.min
4. else
5.     if x < V.min.key
6.         Temp = V.min
7.         V.min = (x, satelliteInfo)
8.         vEB-TREE-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x), Temp)
9.     else if x > V.max.key
10.        V.max = (x, satelliteInfo)
11.        vEB-TREE-INSERT(V.summary, high(x), (low(x), Temp))
12.    else
13.       vEB-TREE-INSERT(V.cluster[high(x)], low(x), (x, satelliteInfo))

4.4 C语言实现插入操作

以下是C语言实现的插入操作示例代码：

int vEB_TREE_INSERT(vEBTree* V, int x, char* satelliteInfo) {
    if (V->min.key == 0) { // 假设0表示NIL
        V->min.key = x;
        V->min.data.info = strdup(satelliteInfo); // 复制卫星数据
        V->max = V->min;
        return 1;
    } else if (x < V->min.key) {
        KeyWithData temp = V->min;
        V->min.key = x;
        V->min.data.info = strdup(satelliteInfo);
        return vEB_TREE_INSERT(V->cluster[high(x)], low(x), temp);
    } else if (x > V->max.key) {
        KeyWithData temp = V->max;
        V->max.key = x;
        V->max.data.info = strdup(satelliteInfo);
        return vEB_TREE_INSERT(V->summary, high(x), temp);
    } else {
        return vEB_TREE_INSERT(V->cluster[high(x)], low(x), (KeyWithData){x, {strdup(satelliteInfo)}});
    }
}

请注意，上述代码是一个简化的示例，它没有处理所有可能的错误情况，比如内存分配失败。在实际应用中，您需要添加错误检查和适当的内存管理。

4.5 卫星数据的内存管理

为了有效地管理卫星数据的内存，我们需要在插入时分配内存，在删除时释放内存。这要求我们为每个KeyWithData结构体实现深拷贝和销毁函数。

5. 结论

通过扩展vEB树的节点结构和修改操作算法，我们可以有效地支持带有卫星数据的关键字。这种扩展使得vEB树可以应用于更广泛的应用场景，如数据库索引、符号表的实现等。

8. 参考文献

• van Emde Boas, P. (1977). Preserving order in a forest: a note on the management of dynamic information. Technical Report 77-04, University of Amsterdam.
• Mehlhorn, K. (1984). Data Structures and Algorithms 1: Sorting and Searching. Springer-Verlag.

注意

由于篇幅限制，这里提供的代码和伪代码是简化的示例，旨在说明如何开始实现。在实际应用中，您需要考虑更多的边界情况和错误处理。完整的实现将包括所有的vEB树操作（如查找、删除、后继、前驱等），以及对卫星数据的完整内存管理。此外，还需要进行彻底的测试，以确保数据结构的正确性和性能。