PWM整流器小信号交流模型建模的主要步骤为：

(a)利用小纹波近似的动态版本，建立与电感和电容波形的低频平均值有关的方程；

(b)平均方程的扰动和线性化；

(c)交流等效电路模型的建立。

以下图buck-boost电路为例进行分析。

首先测定电感和电容的电压和电流波形。当开关在位置1时，获得如下所示电路。

电感电压和电容电流为：

当开关在位置2时，获得如下所示电路。

电感电压和电容电流为：

1.电感和电容波形的平均

我们首先推导出控制电感波形的平均分量如何随时间演化的方程。可知瞬时电感电流和电压关系为：

先推导出平均电感电流的关系式：

在方程的右边，因为电感电流连续和它的导数 vL(t)/L 在积分期间有有限个不连续点，我们可以交换微分和积分的顺序。因此，上述方程变为：

联立上述三式，最终可得：

重新整理可得：

这结果表明电感电压和电感电流的直流成分满足下述定义式：

其中，电感值L未发生改变，且无额外部分。

通过相同的分析方法，可以得到电容电压和电容电流的直流成分之间存在的关系为：

接下去需要通过电感电压和电容电流的平均值波形求解上述两个方程的右侧。

2.电感电压平均和小纹波近似

buck-boost电路的电感电压和电流波形如下图所示。

如果电路的固有频率比开关频率慢得多，那么实际电感电流和电容电压波形中的波纹确实很小，近似有效。

使用小纹波近似法，可以表示出电感电压在长度为 dTs 的子区间内的表达式为：

用相同的方法，在剩下的总长度为 d’Ts 的子区间内，可以得到电感电压的表达式为：

因此，平均电感电压为：

将上式代入下式：

可得：

上述方程描述了电感电流的低频成分随时间变化情况。

3.平均近似法

平均算子如下所示：

平均是一种巧妙地方法，有助于推导出描述开关变换器低频动态的易于处理的方程。它去除开关频率处的波形分量及其谐波，同时保留波形低频分量的幅值和相位。在此处分析，用变换器的平均值来代替变换器的波形，以获得在连续导通工作模式下描述的开关变换器的动态特性的模型。后续，这种平均算子被用于其他情况，如断续导通模式或电流编程控制。下图为buck-boost转换器电路的电感电流和电压波形图，其占空比按正弦变化。

使用平均算子来计算波形的平均值，可以看出，<i(t)>Ts波形经过实际 i(t) 波形的中心。此外，<vL(t)>Ts的增加会导致<i(t)>Ts斜率的增加，如下式所示：

前文所示的平均算子有效的完成低通函数以去除开关纹波的功能。实际上，我们可以对平均算子进行拉普拉斯变换，得到：

即：

其中，系数为：

可以计算平均算子对角频率为ω的正弦波的影响，令上面的方程中的s = jω。则传递函数Gav变成：

下图为上式的幅度(以分贝表示)与频率的关系图。

在开关频率 fs 及其谐波处，平均算子的低频增益为1(或0dB)，增益为0(或−∞ dB)。传递函数Gav是纯实数，当频率小于开关频率时，相移为零。因此，平均算子保留了波形低频分量的幅值和相位，同时去除开关频率及其谐波分量。

当频率f大约大于fs/3时，上图表现出明显的衰减。这表明平均模型可能不能准确地预测更高频率下的瞬态响应。断续导通模式的高频动态是这种行为的一个例子。

不同于稳态分析，近似平均电感电压vL(t)和电感电流i(t)的动态波形图是在任意时刻绘制的，不一定从晶体管接通时刻开始。在对高带宽控制方案进行建模时，这种严格的平均定义是十分重要的。选择从(t-Ts/2)到(t+Ts/2)的平均间隔保留了波形的相位，因此准确地预测了电流编程转换器的行为。还应该注意的是，通过将一个半周期集成到未来[即(t+Ts/2)]来计算平均值并不违反任何物理因果关系约束，因为这仅仅是一种建模技巧，而不是在物理电路中实现的。

还能注意到，下式：

其结果能在没有这种严谨性的情况下推导出来。对于连续导通模式的连续时间模型的推导，无论平均间隔是从(t-Ts/2)开始还是从晶体管接通的瞬间开始，都得到相同的结果。此处分析将继续采更简单的论点，其中平均间隔从晶体管接通时开始。在后续的分析中，必要时将采用更严格的处理，例如在对电流编程控制的高频动态建模时。

4.电容波形平均

使用相同的步骤得到电容动态方程。电容电压和电流波形如下图所示。

当开关在位置1时，电容电流表达式为：

当开关在位置2时，电容电流表达式为：

平均电容电流可以通过对上两式使用平均法得到，结果为：

将平均法得到的电容值表达式代入下式：

并合并同类项可得：

这是描述直流和低频交流电容电压变化的基本平均方程。

5.输入电流平均

有必要写一个额外的方程来对转换器输入电流的直流分量进行建模。这使得转换器的输入端能通过直流等效电路来进行建模。这里必须遵循类似的步骤，以便转换器输入端口的低频变化由交流等效电路进行建模。

以buck-booat转换器为例，在第一个子区间内输入源注入转换器的电流ig(t)被认为与电感电流i(t)相等，在第二个子区间内输入源注入转换器的电流ig(t)为零。通过忽略电感电流纹波，并用电流的平均值<i(t)>Ts代替i(t)，则输入电流的表达式为：

输入电流波形如下所示：

对输入电流在一个开关周期内取平均值可得：

这是描述直流和低频交流转换器输入电流变化的基本平均方程。

6.扰动法与线性法

buck-boost转换器的平均方程为：

这些方程是非线性的，因为它们涉及时变量的乘法。例如，电容电流取决于控制输入d’(t)和电感电流低频成份<i(t)>Ts的乘积。时变信号的乘积是一个非线性过程，会产生谐波。如拉普拉斯变换和其他频域分析法等大多数交流电路分析方法，对非线性系统不适用。所以需要通过构建小信号模型对上式进行线性化。

假设我们以稳态或静态的方式来驱动变换器，占空比d(t)=D，静态输入电压vg(t)=Vg。从稳态分析可知在任何的暂态消除后，电感电流<i(t)>Ts，电容电压<v(t)>Ts，和输入电流<ig(t)>Ts将分别达到稳态值I，V和Ig，其中：

上式通过使用电感伏秒平衡原则和电容充电平衡原则得到，它们还可以通过下式得出。

因为在稳定状态下，导数必须等于零。

为了在静态工作点(I,V)上构造一个交流小信号模型，假设输入电压vg(t)和占空比d(t)等于给定的静态值Vg和D，再叠加一些的交流变化量：

因此，可得：

作为对这些输入的响应，在任何暂态结束后，平均电感电流<i(t)>Ts，平均电容电压<v(t)>Ts，和平均输入电流<ig(t)>Ts波形将等于相应的静态值I，V和Ig，加上一些交流变化小量：

可得：

假设交流变化量数值上远小于直流稳态值，即：

则可以实现buck-boost转换器平均方程的线性化。得到电感方程为：

应该注意的是，占空比的补量为：

应该注意的是，占空比的补量为：

其中，D’=1-D。在d’(t)的表达式中出现了负号，因为d(t)的变化使得d(t)增加，导致d’(t)减少。通过对电感方程进行化简可得：

I的导数是零，因为根据定义I是直流(常数)项。为了得到一个小信号交流模型，直流项可以被认为是已知的常数。在上的右侧，出现了三种类型的项:

直流项：这些项只包含直流量。

一阶交流项：所有这些项均包含一个交流量，通过乘以一个例如直流量的常数系数。这些项是交流量的线性方程。

二阶交流项：这些项包含交流量的乘积，因此它们是非线性的。

这是希望得到的结果：用于描述电感电流变化的小信号线性化方程。

可以用相同的方法得到线性化的电容方程，即：

简化可得：

忽略二阶项，注意到方程两边的直流项相等，我们再次得到一个线性化的一阶方程，只包含上式的一阶交流项:

这是描述电容电压变化的期望的小信号线性化方程。

最后，对平均输入电流方程进行线性化处理可得：

化简可得：

忽略二阶非线性项。方程两边的直流项相等。剩下的一阶线性交流项为：

这是描述转换器输入电流的低频交流分量的线性化小信号方程。

总之，开关变换器的非线性平均方程可以在一个静态工作点处线性化。转换器的独立输入被表示为恒定(直流)值，加上小的交流变化。作为响应，变换器的平均波形呈现类似的形式如果交流变化的幅度足够小，那么非线性项就比线性交流项小得多，因此可以忽略不计。其余的线性交流项包括变换器的小信号交流模型。

7.小信号等效电路模型的建立

用于描述理想buck-boost转换器交流小信号模型的方程如下所示：

我们得到变换器的平均直流方程，并重建了一个等效电路来模拟变换器的直流特性。我们可以在这里使用相同的步骤，来构建转换器的平均小信号交流模型。上式中的电感方程描述了包含电感器的环路的电压。事实上，这个方程是通过环路分析找到电感电压，然后通过平均，扰动和线性化推导出来的。所以该方程展现了包含电感的小信号模型的环路上的电压。环路电流是小信号交流电感电流如下图所示。

电容方程如下所示：

描述了流入与电容相连节点的电流。

该方程通过节点分析得到电容电流，然后平均，扰动和线性化得到。因此，这个方程描述了流入连接到电容器的小信号模型节点的电流。如下图所示。

最后，输入电流方程为：

用一个等效的理想变压器代替受控源，可得

正弦波叠加在变压器符号上表明为理想变压器，并且是平均小信号交流模型的一部分。因此，连续导通模式 dc-dc 变换器的有效直流特性也会影响变换器信号中的小信号交流变化。上图所示的电路，可以使用传统的线性电路方法进行分析，得到转换器传递函数，输入和输出阻抗等。

8.扰动法和线性法步骤的讨论

在扰动法和线性法的步骤中，假设平均电压或电流由一个直流成分和一个在直流量附近的小信号交流变化量组成。线性法通过忽略忽略小信号变化量的乘积来实现。通常，线性法对非线性关系使用泰勒展开，只剩下常数和线性项。例如，电感电流的大信号平均方程如下所示：

对该表达式在静态工作点(Vg,V,D)进行三阶泰勒展开，可得：

为简便起见，在上述等式中去掉了表示平均值的尖括号。由定义可知I为常数，因此电流I的微分为零。上式两侧的直流项为：

表示电感的伏秒平衡。三阶泰勒展开式右侧线性项的系数为：

将上述三个系数代入三阶泰勒展开式，忽略高阶非线性项，并均衡两边的线性交流项可得：

总之，线性化步骤总是可以用泰勒展开来完成。

在小信号模型中，可以对非线性电阻使用相同的方法。下图描述了非线性负载特性的线性化。

其中，i=f(v)。

我们可以将这个伏安特性展开成关于静态工作点(V,I)的泰勒级数：

小信号项为：

其中R由静态工作点处的斜率所决定：

变换器的直流解由下式的非线性负载特性(v=V,i=I)进行求解：

变换器的小信号交流模型对下式采用线性化来得到：

9.几个基本转换器的结果

下图总结了工作在连续导通模式下的buck、boost和buck-boost转换器的等效电路模型。

buck和boost转换器模型包含匝数比等于变换器转换比的理想变压器。buck-boost转换器包含具有buck和boost转换比的理想变压器；这与buck-boost转换器作为buck和boost转换器的级联连接的推导一致。当负载非线性时，使用如下式所示递增的负载电阻：

这些模型可以求解出变换器的传递函数、输入和输出阻抗、电感电流变化等。通过插入适当的匝数比，上图的等效电路可以用于模拟buck、boost和buck-boost压变换器的变压器隔离版本，包括正激、反激和其他变换器。

10.举例：一种非理想反激转换器

为了说明前一节的技术对于各种转换器现象的建模是有用的，接下来推导一个包含变压器隔离和电阻损耗的转换器的小信号交流等效电路。一个隔离型反激转换器如下图所示。

反激变压器原边有磁化电感L，且变比为1:n。MOSFET管Q1通态电阻为Ron。其他元件损耗，如变压器漏电感和开关损耗均忽略。反激变压器用一个由磁化电感L并联理想变压器组成的等效电路来代替，电路如下图所示。

在第一个子区间，即MOSFET管Q1导通，二极管D1关断时。电路简化成如下图所示。

电感电压vL(t)，电容电流iC(t)和转换器输入电流ig(t)为：

接下去使用小纹波近似法，用平均电压和平均电流代替电压值和电流值，可以得到：

在第二个子区间，即MOSFET管Q1关断，二极管D1导通时。电路简化成如下图所示。

通过对该电路的分析，可得电感电压vL(t)，电容电流iC(t)和转换器输入电流ig(t)分别为：

使用小纹波近似法，并用平均电压和平均电流代替电压值和电流值，可以得到：

电感电压和电流的波形如下图所示。

平均电感电压可以在一个开关周期内对上图的波形进行平均求得，结果如下所示：

将该上式代入下式：

可得平均电感方程为：

电容电压和电流的波形如下图所示。

平均电容电流为：

由此可得平均电容方程为：

转换器输入电流ig(t)波形如下图所示。

转换器输入电流平均值为：

转换器的平均方程为：

这是非线性差分方程的集合，因此下一步是使用扰动法并线性化，构建一个转换器的小信号交流方程。假设转换器输入电压vg(t)和占空比d(t)可以用静态值加上微小的交流变化量来表示，如下所示：

作为对这些输入的响应，并且在所有瞬态衰减之后，平均变换器波形也可以表示为静态值加上小的交流变化：

使用这些关系替换后，大信号平均电感方程变为：

将上述表达式中的项进行相乘并按照阶数整理可得：

该方程包含三种类型的项。直流项不包含时变量。一阶交流项是电路中交流变化量的线性方程，而二阶交流项是电路中交流变化量乘积的线性方程。如果满足如下所示的小信号假设：

则二阶交流项远小于一阶交流项，则可以被忽略。直流项满足：

该结果也可以通过对稳态电感电压波形使用电感伏秒平衡原则获得。一阶交流项必须满足：

这是描述电感电流交流量的线性化方程。

将上式代入下式：

其中一个可得：

对上式进行处理后，可得：

忽略二阶项，上式的直流项必须满足：

该结果也可以通过对稳态电容电流波形使用电容充电平衡得到。一阶交流项可以获得小信号交流电容方程：

将前述得到的式子在此处重新复述：

将上式代入下式：

其中一个式子可得：

重新整理上述式子，可得：

直流项必须满足：

我们忽略其中的二阶非线性项，留下下述的线性化交流方程：

该结果对转换器输入电流的低频交流变化量进行了建模。

将暂态值方程罗列如下：

通过给定输入电压Vg和占空比D的稳态值，可以通过计算系统方程来求解输出电压V，电感电流I和输入电流直流成份Ig。将这些结果代入小信号交流方程。

小信号交流方程以及一些方程整理如下：

最后一步是构建一个与这些方程一致的等效电路。

首先通过写出回路方程推导出电感方程，求出每个子区间施加在电感上的电压。再对这些方程求平均，扰动化和线性化，得到如下公式：

交流小信号电容方程如下所示：

得到的等效电路图为：

输入端方程为：

以上三个局部电路组合成一个总的电路如下图所示。

将受控源替换为理想变压器，得到如下图所示的等效电路。

这是期望得到的结果：模拟转换器波形中低频小信号变化的等效电路。它现在可以进行求解，使用传统的线性电路分析技术，找到转换器的传递函数，输出阻抗，和其他感兴趣的交流量。