【数据结构】如何创建一棵红黑树（附动图讲解）

一、前言

二、红黑树的概念

三、红黑树的性质

四、红黑树节点的定义

五、红黑树的插入

5.1 节点的初始颜色

5.2 红黑树的调整

六、红黑树的验证

6.1 验证有序

6.2 验证红黑树性质

七、红黑树与AVL树的比较

一、前言

在前面AVL树的学习中，我们知道了如何通过对平衡因子的调整、判断和旋转得到一棵严格平衡的二叉搜索树，虽然AVL树能够降低搜索树的高度，加快搜索效率，但是频繁的旋转导致创建一棵AVL树的代价并不小，因此，红黑树诞生了。

二、红黑树的概念

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，相对于AVL树的严格平衡，它遵循一种相对平衡，即最长路径不超过最短路径的二倍。红黑树由 Rudolf Bayer 于1972年发明，在当时被称为对称二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来在1978年被 Leo J.Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的红黑树。

红黑树的应用十分广泛，它能够在O(logN)的时间复杂度内完成搜索、查找和删除操作，后面要学习的C++容器map和set，其底层就是用红黑树实现的

三、红黑树的性质

红黑树之所以叫这个名字，是因为其每个节点中都增加了一个颜色变量，该变量不是红色就是黑色

红黑树的以下几个性质，是必须严格遵守的，否则就不能被称为红黑树：

性质1：每个节点不是红色就是黑色
性质2：根节点必须是黑色的

这里的根节点不包括子树的根节点，而是整棵树唯一的_root节点

所以红黑树的左右子树不是红黑树（区分：AVL树的左右子树也是AVL树）

性质3：可以存在两个或多个连续的黑色节点，但是不能存在连续的红色节点
性质4：每条路径上的黑色节点数量必须相同

性质2、3和性质4就决定了红黑树的最长路径不超过最短路径的二倍，例如：

图中的红黑树已省略其他节点，只保留最长路径和最短路径

可以看到此时路径中的黑色节点数量相同，因此无法在最长路径中再添加一个黑色节点；又因为不能存在连续的红色节点，而最长路径中的最后一个节点为红色，因此也无法在最长路径中添加红色节点。

通过观察可以发现，在红黑树中全黑的路径必然是最短路径，而一黑一红交替的路径是最长路径

性质5：红黑树的空节点（NIL节点）默认为黑色

四、红黑树节点的定义

红黑树的节点与AVL树的节点大致相同，只是没有了平衡因子，取而代之的是颜色

每个新节点的初始颜色都设置为红色，原因会在后面的插入操作中讲

我们可以用一个枚举来列举颜色

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class T>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent;
	T _data;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const T& data)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED) //初始颜色为红色
	{}
};

五、红黑树的插入

红黑树本质上也是一棵二叉搜索树，因此在插入节点时也需要遵循二叉搜索树的规则。

5.1 节点的初始颜色

在插入节点时，我们遇到的第一个问题是：为什么节点的初始颜色是红色？不能是黑色吗？

假设我们把节点的初始颜色设置为黑色，那么在我们插入一个新节点的时候会发生什么事呢？

例如：

可以发现，在插入新节点（黑）的时候，该路径的黑色节点数目发生了变化，破坏了性质4，即每条路径的黑色节点数目必须相同。

当红黑树的性质被破坏后，我们需要对其进行旋转或变色等操作使其重新成为一棵红黑树

但是因为此时性质4被破坏，我们就需要将每条路径的黑色节点数量调整到相同，同时又不能破坏其他的性质，这个过程要付出的代价是非常非常大的！

但是如果节点的初始颜色是红色，就分为两种情况：

（1）插入新节点，此时新节点的父节点为黑色

例如：

这是最理想的情况，因为此时插入一个新节点没有破坏任何一个性质，所以不需要进行调整。

（2）插入新节点，此时新节点的父节点为红色

例如：

插入新节点后，出现了连续的红色节点，性质3被破坏，需要进行调整。

可以看出，如果我们将节点的初始颜色设置为红色，在某些情况下是不需要进行调整的

而当我们检测到插入的新节点的父节点是红色时，才需要进行调整，调整的过程也很简单，接下来我们就会讲到。

至此，我们可以写出不包括调整部分的插入函数的代码了：

bool insert(const pair<const K, V> &kv)
{
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        _root->_col = BLACK;
        return true;
    }

    Node *parent = nullptr;
    Node *cur = _root;

    while (cur)
    {
        parent = cur;
        if (kv.first > cur->_kv.first)
            cur = cur->_right;
        else if (kv.first < cur->_kv.first)
            cur = cur->_left;
        else
            return false;
    }

    cur = new Node(kv);
    cur->_col = RED; // 新节点默认为红色
    if (kv.first > parent->_kv.first)
    {
        parent->_right = cur;
        cur->_parent = parent;
    }
    else
    {
        parent->_left = cur;
        cur->_parent = parent;
    }

    //调整部分

    _root->_col = BLACK; // 无论如何，都将根变为黑色
    return true;
}

5.2 红黑树的调整（附动图）

当插入的新节点的父节点是红色时，就出现了连续的红色节点，此时我们需要对红黑树进行调整

调整的时候，又分为三个情况：

（1）插入新节点，父节点为红，叔叔节点存在且也为红

这种情况是最好处理的，将父节点和叔叔节点变成黑色，再将祖父节点变为红色，这样既恢复了性质3，又不会破坏性质4

需要注意的是，祖父节点不一定为根节点，其父节点可能也为红色，所以需要继续向上调整。

（2）插入新节点，父节点为红，叔叔节点不存在或存在且为黑，父节点和祖父节点的相对位置与新节点与父节点的相对位置相同

遇到这种情况，向上面这种单纯的变色已经不足以解决问题了，需要进行一次单旋后再变色

当需要旋转时，对红黑树的旋转方式和AVL树的旋转方式类似。

这里我们用叔叔节点存在且为黑的情况来进行演示：

在调整的时候，我们需要时刻遵循每条路径的黑色节点数量相同的原则，因此a、b、c中的黑色节点必定比d、e中的黑色节点数目多1个（因为叔叔节点为黑色，已经为d、e中的路径提供了一个黑色节点）

上面的情况，当父节点在祖父节点的左边且新节点在父节点的左边时，先进行右单旋再变色

但是如果当父节点在祖父节点的右边且新节点在父节点的右边时，则先进行左单旋再变色

当叔叔节点不存在时，处理方法和叔叔节点存在且为黑的相同。

（3）插入新节点，父节点为红，叔叔节点不存在或存在且为黑，父节点和祖父节点的相对位置与新节点与父节点的相对位置相反

这种情况，祖父节点-父节点-新节点的连线之间会有一个明显的折返角度，也就是说当父节点在祖父节点的左边时，新节点在父节点的右边；而当父节点在祖父节点的右边时，新节点在父节点的左边。

和AVL树的旋转类似，这种情况下需要进行两次单旋+变色

这里我们还是用叔叔节点存在且为黑的情况来进行演示：

（动图里的双旋有误，应改成两次单旋）

上面的情况，当父节点在祖父节点的左边且新节点在父节点的右边时，先进行左单旋再进行右单旋，最后变色

如果当父节点在祖父节点的右边且新节点在父节点的左边时，则先进行右单旋再进行左单旋，最后变色

当叔叔节点不存在时，处理方法和叔叔节点存在且为黑的相同。

当我们清楚了3种需要进行调整的情况后，就可以编写完整的插入函数代码了：

bool insert(const pair<const K, V> &kv)
{
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        _root->_col = BLACK;
        return true;
    }

    Node *parent = nullptr;
    Node *cur = _root;

    while (cur)
    {
        parent = cur;
        if (kv.first > cur->_kv.first)
            cur = cur->_right;
        else if (kv.first < cur->_kv.first)
            cur = cur->_left;
        else
            return false;
    }

    cur = new Node(kv);
    cur->_col = RED; // 新节点默认为红色
    if (kv.first > parent->_kv.first)
    {
        parent->_right = cur;
        cur->_parent = parent;
    }
    else
    {
        parent->_left = cur;
        cur->_parent = parent;
    }

    while (parent && parent->_col == RED) // 若父节点不存在说明走到根，若父节点为黑色则不需要处理
    {
        Node *grandfather = parent->_parent; // 记录祖父节点

        if (grandfather->_left == parent) // 父节点在祖父节点左边时
        {
            Node *uncle = grandfather->_right; // 记录叔叔节点

            if (uncle && uncle->_col == RED) // 如果叔叔节点存在且为红色
            {
                // 变色
                parent->_col = uncle->_col = BLACK; // 将父节点与叔叔节点都变为黑色
                grandfather->_col = RED;            // 将祖父节点变为红色
                // 继续向上处理
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            }
            else // 叔叔节点不存在或为黑色
            {
                // 需要旋转+变色
                if (parent->_left == cur) // cur节点在父节点左边，右单旋
                {
                    RotateRight(grandfather);
                    // 变色
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                else // cur节点在父节点右边，左右双旋
                {
                    RotateLeft(parent);
                    RotateRight(grandfather);
                    // 变色
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                break;
            }
        }
        else // 父节点在祖父节点右边，和上面同理
        {
            Node *uncle = grandfather->_left;

            if (uncle && uncle->_col == RED)
            {
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;

                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            }
            else
            {
                if (parent->_right == cur)
                {
                    RotateLeft(grandfather);
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                else
                {
                    RotateRight(parent);
                    RotateLeft(grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                break;
            }
        }
    }
    _root->_col = BLACK; // 无论如何，都将根变为黑色
    return true;
}

六、红黑树的验证

当我们完成了红黑树的插入函数，就已经可以构造出一棵树了

但是构造出的树是否符合红黑树的性质，则还需要我们进行验证

6.1 验证有序

在验证是否符合红黑树性质前，我们首先需要验证其是否是一棵二叉搜索树

在之前讲解二叉搜索树中提到过，如果中序遍历能够得到一个有序的序列，就说明是二叉搜索树

中序遍历代码如下：

void InOrder()
{
    _InOrder(_root);
    cout << endl;
}

void _InOrder(Node *root)
{
    if (root == nullptr)
        return;
    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << " "; // key/value模型，_kv是一个pair对象
    _InOrder(root->_right);
}

验证：

说明符合二叉搜索树性质

6.2 验证红黑树性质

通过枚举我们就能很好的控制红黑树每个节点的颜色，所以性质1可以不用额外去验证。

而性质2、3和性质4我们可以用函数来验证，代码如下：

bool IsBalance()
{
    if (_root == nullptr)
        return true;
    if (_root->_col == RED) //检测根是否为黑色
    {
        cout << "异常：根为红色" << endl;
        return false;
    }

    // 预先求出某条路径的黑色节点数量
    size_t blackcount = 0;
    Node *cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_col == BLACK)
            blackcount++;
        cur = cur->_left;
    }

    size_t k = 0; //作为参数传入，用于统计路径的黑色节点数量
    return _IsBalance(_root, k, blackcount);
}

bool _IsBalance(Node *root, size_t k, size_t blackcount)
{
    if (root == nullptr) //走到路径结尾
    {
        if (k != blackcount)
        {
            cout << "异常：路径黑节点数目不同" << endl;
            return false;
        }
        return true;
    }
    if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) //判断是否有连续红节点
    {
        cout << "异常：出现连续红节点" << endl;
        return false;
    }
    if (root->_col == BLACK) //统计黑色节点数量
        k++;

    return _IsBalance(root->_left, k, blackcount) 
    && _IsBalance(root->_right, k, blackcount); //进行递归
}

验证：