托普利兹矩阵（T矩阵）及其应用（Matlab demo测试）
- 1. 概念
- 2. Matlab简单测试
- 2.1 生成测试
- 2.2 基本性质及原理
- 2.3 性质验证
- 3. 其他应用总结
- 3.1 其他性质
- 3.2 文献阅读看到的
- 参考资料
1. 概念
托普利兹矩阵，简称为T型矩阵，托普利兹矩阵的主对角线上的元素相等，平行于主对角线的线上的元素也相等；矩阵中的各元素关于次对角线对称，即T型矩阵为次对称矩阵。即 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji
2. Matlab简单测试
2.1 生成测试
Matlab中可以用toeplitz(x,y)。它生成一个以 x 为第一列，y 为第一行的托普利兹矩阵。
函数中x=(x1,x2,…,xk) y=(y1,y2,…,yj)为向量形式，代表托普利兹矩阵的第一行、第一列。
x=[1, 2, 3, 3, 4, 4];
y=[1, 3, 3, 2, 3, 4];
T=toeplitz(x,y)
生成结果如下：
ans =
1 3 3 2 3 4
2 1 3 3 2 3
3 2 1 3 3 2
3 3 2 1 3 3
4 3 3 2 1 3
4 4 3 3 2 1
2.2 基本性质及原理
其中，最基础的性质，是托普利兹矩阵可以表示为前向位移矩阵和后向位移矩阵之和。
- 前向位移矩阵
F = ( 0 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 . . . 0 0 ) ∈ R n × n F=\left( \begin{matrix} 0& 1& ...& 0\\ 0& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& 1\\ 0& ...& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \in \mathbb{R} ^{n\times n} F= 00...01..................00...10 ∈Rn×n - 后向位移矩阵
B = ( 0 0 . . . 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 ) ∈ R n × n B=\left( \begin{matrix} 0& 0& ...& 0\\ 1& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& 0\\ 0& ...& 1& 0\\ \end{matrix} \right) \in \mathbb{R} ^{n\times n} B= 01...00..................10...00 ∈Rn×n - 基于性质 前向、后向矩阵幂次和
T = ∑ k − 1 n − 1 t − k B k + ∑ k = 0 n − 1 t k F k T=\sum_{k-1}^{n-1}{t_{-k}B^k+\sum_{k=0}^{n-1}{t_kF^k}}\,\, T=k−1∑n−1t−kBk+k=0∑n−1tkFk
式中， t − k t_{-k} t−k和 t k t_k tk分别为（预先定义好的）系数。
2.3 性质验证
- 简单前向后向矩阵 后向矩阵 的幂次性质
n = 5; % Define the size of the matrix
F = diag(ones(1, n-1), 1); % Create the forward matrix
B = F'
这性质确实有点意思… 位置变化了
>> B^2
ans =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
>> B^3
ans =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
>> B^4
ans =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
>> F^2
ans =
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
>> F^3
ans =
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
>> F^4
ans =
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
- 生成 托普利兹矩阵
n = 5; % Define the size of the matrix
F = diag(ones(1, n-1), 1); % Create the forward matrix
B = F';
% Define the coefficients t_{-k} and t_k
t_neg = [1, 2, 3, 4, 5]; % Example coefficients for t_{-k}
t_pos = [1, 3, 3, 2, 1]; % Example coefficients for t_k
T = zeros(n); % Initialize the Toeplitz matrix
for k = 1:n
T = T + t_neg(k) * (B^(k-1));
end
for k = 2:n
T = T + t_pos(k) * (F^(k-1));
end
定义的信息如下：
t_neg = [1, 2, 3, 4, 5]; % Example coefficients for t_{-k}
t_pos = [1, 3, 3, 2, 1]; % Example coefficients for t_k
T =
1 3 3 2 1
2 1 3 3 2
3 2 1 3 3
4 3 2 1 3
5 4 3 2 1
3. 其他应用总结
3.1 其他性质
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Python实现版本可以参考哈工大 赵老师的博客。
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其他的一些性质，
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- 包括可以高效率的计算卷积…
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- 对于Ax=b的系统（线性代数中），当A为托普利兹矩阵时，可以称其为托普利兹系统， 且此时的系统自由度为2-1而不是n^2, (究其原因，和托普利兹矩阵的形式有关)， 因此，可以用Levinson求解方法快速计算
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- 托普利兹矩阵可以被分解，如LU分解中的Bareiss算法
PS: LU分解，顾名思义，L 是单位下三角矩阵， U 是单位上三角矩阵。 LU分解有两种实现，分别是. Gauss消去法. 待定系数法.
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- 关于对称块矩阵(Block Toepliz)和对称矩阵（Toepliz） 虽然托普利茨矩阵具有与对角线恒定性相关的特定特征，但对称块矩阵的特征在于其子矩阵的对称性。
这些具体的性质，等到需要用的时候，再推导吧…
3.2 文献阅读看到的
对于一些工程应用，最近在一篇论文中，就用到了这个性质，需要分析一个能量传播矩阵，这个能量传播矩阵可以表示为一个近似的对称块托普利兹矩阵，因此，可以利用其卷积性质，得到不变卷积核：
参考资料
【1】-csdn 托普利兹矩阵
