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    • `Python`实现

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系列专栏：分治算法

学习指南：Python学习指南

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问题描述

• 将正整数$n$表示成一系列正整数之和，$n=n_1+n_2+\cdots +n_k(n_1\ge n_2\ge \cdots \ge n_k\ge 1,k\ge 1)$
• 正整数$n$的这种表示称为正整数$n$的划分，正整数$n$的不同的划分个数称为正整数$n$的划分数，记为$p(n)$

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分治算法

• 在正整数$n$的所有划分中，将最大加数$n_1$不大于$m$的划分个数记作$q(n,m)$，可以建立$q(n,m)$的递归关系

$$q(n,m)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1,m=1\\ q(n,n),& n<m\\ q(n,n-1)+1,& n=m\\ q(n,m-1)+q(n-m,m),& n>m>1\end{array}$$

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Python实现

def integer_partition(n, m):
    if n < 1 or m < 1:
        return 0

    if n == 1 or m == 1:
        return 1

    if n < m:
        return integer_partition(n, n)

    if n == m:
        return integer_partition(n, m - 1) + 1

    return integer_partition(n, m - 1) + integer_partition(n - m, m)


n = 6

res = integer_partition(n, n)

print(f'The number of partitions for {n} is: {res}')

The number of partitions for 6 is: 11

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