一，损失函数概述

大多数深度学习算法都会涉及某种形式的优化，所谓优化指的是改变 $x$ 以最小化或最大化某个函数 $f(x)$ 的任务，我们通常以最小化 $f(x)$ 指代大多数最优化问题。

在机器学习中，损失函数是代价函数的一部分，而代价函数是目标函数的一种类型。

• 损失函数（loss function）: 用于定义单个训练样本预测值与真实值之间的误差
• 代价函数（cost function）: 用于定义单个批次/整个训练集样本预测值与真实值之间的累计误差。
• 目标函数（objective function）: 泛指任意可以被优化的函数。

损失函数定义：损失函数是深度学习模型训练过程中关键的一个组成部分，其通过前言的内容，我们知道深度学习算法优化的第一步首先是确定目标函数形式。

损失函数大致可分为两种：回归损失（针对连续型变量）和分类损失（针对离散型变量）。

常用的减少损失函数的优化算法是“梯度下降法”（Gradient Descent）。

二，交叉熵函数-分类损失

交叉熵损失(Cross-Entropy Loss) 又称为对数似然损失(Log-likelihood Loss)、对数损失，二分类时还可称之为逻辑斯谛回归损失(Logistic Loss)。

2.1，交叉熵（Cross-Entropy）的由来

交叉熵损失的由来参考文档 AI-EDU: 交叉熵损失函数。

1，信息量

信息论中，信息量的表示方式：

《深度学习》（花书）中称为自信息(self-information) 。
在本文中，我们总是用 $\text{log}$ 来表示自然对数，其底数为 $e$。

$$I(x_j)=-\log (p(x_j))$$

• $x_j$：表示一个事件
• $p(x_j)$：表示事件 $x_j$ 发生的概率
• $I(x_j)$：信息量，$x_j$ 越不可能发生时，它一旦发生后的信息量就越大

2，熵

信息量只处理单个的输出。我们可以用熵（也称香农熵 Shannon entropy）来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化:

$$H(p)=-\sum _j^{n}p(x_j)\log (p(x_j))$$

则上面的问题的熵是：

$$\begin{array}{rl}H(p)& =-[p(x_1)\ln p(x_1)+p(x_2)\ln p(x_2)+p(x_3)\ln p(x_3)]\\ & =0.7\times 0.36+0.2\times 1.61+0.1\times 2.30\\ & =0.804\end{array}$$

3，相对熵(KL散度)

相对熵又称 KL 散度，如果对于同一个随机变量 $x$ 有两个单独的概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$，则可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，这个相当于信息论范畴的均方差。

KL散度的计算公式：

$$D_{KL}(p||q)=\sum _{j=1}^{m}p(x_j)\log \frac{p(x_j)}{q(x_j)}$$

$m$ 为事件的所有可能性（分类任务中对应类别数目）。$D$ 的值越小，表示 $q$ 分布和 $p$ 分布越接近。

4，交叉熵

把上述交叉熵公式变形：

$$\begin{array}{rl}{D}_{KL}(p||q)& =\sum _{j=1}^{m}p(x_j)\log p(x_j)-\sum _{j=1}^{m}p(x_j)\log q(x_j)\\ & =-H(p(x))+H(p,q)\end{array}$$

等式的前一部分恰巧就是 $p$ 的熵，等式的后一部分，就是交叉熵（机器学习中 $p$ 表示真实分布（目标分布），$q$ 表示预测分布）:

$$H(p,q)=-\sum _{j=1}^{m}p(x_j)\log q(x_j)$$

在机器学习中，我们需要评估标签值 $y$ 和预测值 $a$ 之间的差距熵（即两个概率分布之间的相似性），使用 KL 散度 $D_{KL}(y||a)$ 即可，但因为样本标签值的分布通常是固定的，即 $H(a)$ 不变。因此，为了计算方便，在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以，在机器学习中一般直接用交叉熵做损失函数来评估模型。

$$loss=\sum _{j=1}^m{y}_j\text{log}(a_j)$$

上式是单个样本的情况，$m$ 并不是样本个数，而是分类个数。所以，对于批量样本的交叉熵损失计算公式（很重要!）是：

$$J=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{y}_{ij}\log a_{ij}$$

其中，$n$ 是样本数，$m$ 是分类数。

公式参考文章-AI-EDU: 交叉熵损失函数，但是将样本数改为 $n$，类别数改为 $m$。

有一类特殊问题，就是事件只有两种情况发生的可能，比如“是狗”和“不是狗”，称为 $0/1$ 分类或二分类。对于这类问题，由于 $m=2，y_1=1-y_2，a_1=1-a_2$，所以二分类问题的单个样本的交叉熵可以简化为：

$$loss=-[y\log a+(1-y)\log (1-a)]$$

二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是：

$$J=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[y_i\log a_i+(1-y_i)\log (1-a_i)]$$

为什么交叉熵的代价函数是求均值而不是求和?
Cross entropy loss is defined as the “expectation” of the probability distribution of a random variable 𝑋, and that’s why we use mean instead of sum. 参见这里。

2.1.1，熵、相对熵以及交叉熵总结

交叉熵 $H(p,q)$ 也记作 $CE(p,q)$、$H(P,Q)$，其另一种表达公式（公式表达形式虽然不一样，但是意义相同）:
$$H(P,Q)=-{\mathbb{E}}_{\text{x}\sim p}log(q(x))$$

交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也就是分类(classification)。

根据信息论中熵的性质，将熵、相对熵（KL 散度）以及交叉熵的公式放到一起总结如下:

$$\begin{array}{rl}H(p)& =-\sum _{j}p(x_j)\log p(x_j)\\ D_{KL}(p\parallel q)& =\sum _{j}p(x_j)\log \frac{p(x_j)}{q(x_j)}=\sum _j(p(x_j)\log p(x_j)-p(x_j)\log q(x_j))\\ H(p,q)& =-\sum _{j}p(x_j)\log q(x_j)\end{array}$$

2.2，二分类问题的交叉熵

把二分类的交叉熵公式 4 分解开两种情况：

• 当 $y=1$ 时，即标签值是 $1$ ，是个正例，加号后面的项为: $loss=-\log (a)$
• 当 $y=0$ 时，即标签值是 $0$，是个反例，加号前面的项为 $0$: $loss=-\log (1-a)$

横坐标是预测输出，纵坐标是损失函数值。$y=1$ 意味着当前样本标签值是1，当预测输出越接近1时，损失函数值越小，训练结果越准确。当预测输出越接近0时，损失函数值越大，训练结果越糟糕。此时，损失函数值如下图所示。

2.3，多分类问题的交叉熵

当标签值不是非0即1的情况时，就是多分类了。

假设希望根据图片动物的轮廓、颜色等特征，来预测动物的类别，有三种可预测类别：猫、狗、猪。假设我们训练了两个分类模型，其预测结果如下:

模型1:

预测值	标签值	是否正确
0.3 0.3 0.4	0 0 1（猪）	正确
0.3 0.4 0.4	0 1 0（狗）	正确
0.1 0.2 0.7	1 0 0（猫）	错误

每行表示不同样本的预测情况，公共 3 个样本。可以看出，模型 1 对于样本 1 和样本 2 以非常微弱的优势判断正确，对于样本 3 的判断则彻底错误。

模型2:

预测值	标签值	是否正确
0.1 0.2 0.7	0 0 1（猪）	正确
0.1 0.7 0.2	0 1 0（狗）	正确
0.3 0.4 0.4	1 0 0（猫）	错误

可以看出，模型 2 对于样本 1 和样本 2 判断非常准确（预测概率值更趋近于 1），对于样本 3 虽然判断错误，但是相对来说没有错得太离谱（预测概率值远小于 1）。

结合多分类的交叉熵损失函数公式可得，模型 1 的交叉熵为:

$$\begin{array}{r}\text{sample}1\text{loss}=-(0\times log(0.3)+0\times log(0.3)+1\times log(0.4)=0.91\\ \text{sample}1\text{loss}=-(0\times log(0.3)+1\times log(0.4)+0\times log(0.4)=0.91\\ \text{sample}1\text{loss}=-(1\times log(0.1)+0\times log(0.2)+0\times log(0.7)=2.30\end{array}$$

对所有样本的 loss 求平均:

$$L=\frac{0.91+0.91+2.3}{3}=1.37$$

模型 2 的交叉熵为:

$$\begin{array}{r}\text{sample}1\text{loss}=-(0\times log(0.1)+0\times log(0.2)+1\times log(0.7)=0.35\\ \text{sample}1\text{loss}=-(0\times log(0.1)+1\times log(0.7)+0\times log(0.2)=0.35\\ \text{sample}1\text{loss}=-(1\times log(0.3)+0\times log(0.4)+0\times log(0.4)=1.20\end{array}$$

对所有样本的 loss 求平均:

$$L=\frac{0.35+0.35+1.2}{3}=0.63$$

可以看到，0.63 比 1.37 的损失值小很多，这说明预测值越接近真实标签值，即交叉熵损失函数可以较好的捕捉到模型 1 和模型 2 预测效果的差异。交叉熵损失函数值越小，反向传播的力度越小。

多分类问题计算交叉熵的实例来源于知乎文章-损失函数｜交叉熵损失函数。

2.4，PyTorch 中的 Cross Entropy

PyTorch 中常用的交叉熵损失函数为 torch.nn.CrossEntropyLoss

class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None,
                                ignore_index=-100, reduce=None, 
                                reduction='elementwise_mean')

1，函数功能:

将输入经过 softmax 激活函数之后，再计算其与 target 的交叉熵损失。即该方法将 nn.LogSoftmax() 和 nn.NLLLoss()进行了结合。严格意义上的交叉熵损失函数应该是 nn.NLLLoss()。

2，参数解释:

• weight(Tensor)- 为每个类别的 loss 设置权值，常用于类别不均衡问题。weight 必须是 float 类型的 tensor，其长度要于类别 C 一致，即每一个类别都要设置有 weight。
• size_average(bool)- 当 reduce=True 时有效。为 True 时，返回的 loss 为平均值;为 False 时，返回的各样本的 loss 之和。
• reduce(bool)- 返回值是否为标量，默认为 True。
• ignore_index(int)- 忽略某一类别，不计算其 loss，其 loss 会为 0，并且，在采用 size_average 时，不会计算那一类的 loss，除的时候的分母也不会统计那一类的样本。

2.4.1，Softmax 多分类函数

注意: Softmax 用作模型最后一层的函数通常和交叉熵作损失函数配套搭配使用，应用于多分类任务。

对于二分类问题，我们使用 Logistic 函数计算样本的概率值，从而把样本分成了正负两类。对于多分类问题，则使用 Softmax 作为模型最后一层的激活函数来将多分类的输出值转换为范围在 [0, 1] 和为 1 的概率分布。

Softmax 从字面上来说，可以分成 soft 和 max 两个部分。max 故名思议就是最大值的意思。Softmax 的核心在于 soft，而 soft 有软的含义，与之相对的是 hard 硬，即 herdmax。下面分布演示将模型输出值取 max 值和引入 Softmax 的对比情况。

取max值（hardmax）

假设模型输出结果 $z$ 值是 $[3,1,-3]$，如果取 max 操作会变成 $[1,0,0]$，这符合我们的分类需要，即三者相加为1，并且认为该样本属于第一类。但是有两个不足：

1. 分类结果是 $[1,0,0]$，只保留非 0 即 1 的信息，即非黑即白，没有各元素之间相差多少的信息，可以理解是“Hard Max”；
2. max 操作本身不可导，无法用在反向传播中。

引入Softmax

Softmax 加了个"soft"来模拟 max 的行为，但同时又保留了相对大小的信息。

$$a_j=\text{Softmax}(z_j)=\frac{e^{z_j}}{\sum _{i=1}^m{e}^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\cdots +e^{z_m}}$$

上式中:

• $z_j$ 是对第 $j$ 项的分类原始值，即矩阵运算的结果
• $z_i$ 是参与分类计算的每个类别的原始值
• $m$ 是总分类数
• $a_j$ 是对第 $j$ 项的计算结果

和 hardmax 相比，Softmax 的含义就在于不再唯一的确定某一个最大值，而是为每个输出分类的结果都赋予一个概率值（置信度），表示属于每个类别的可能性。

下图可以形象地说明 Softmax 的计算过程。

当输入的数据 $[z_1,z_2,z_3]$ 是 $[3,1,-3]$ 时，按照图示过程进行计算，可以得出输出的概率分布是 $[0.879,0.119,0.002]$。对比 max 运算和 Softmax 的不同，如下表所示。

输入原始值	MAX计算	Softmax计算
$[3,1,-3]$	$[1,0,0]$	$[0.879,0.119,0.002]$

可以看出 Softmax 运算结果两个特点：

1. 三个类别的概率相加为 1
2. 每个类别的概率都大于 0

下面我再给出 hardmax 和 softmax 计算的代码实现。

# example of the argmax of a list of numbers
from numpy import argmax
from numpy import exp

# define data
data = [3, 1, -3]

def hardmax(data):
    """# calculate the argmax of the list"""
    result = argmax(data) 
    return result

def softmax(vector):
    """# calculate the softmax of a vector"""
    e = exp(vector)
    return e / e.sum()

hardmax_result = hardmax(data)
# 运行该示例返回列表索引值“0”，该值指向包含列表“3”中最大值的数组索引 [1]。
print(hardmax(data)) # 0

# convert list of numbers to a list of probabilities
softmax_result = softmax(data) 
print(softmax_result) # report the probabilities
print(sum(softmax_result)) # report the sum of the probabilitie

运行以上代码后，输出结果如下:

0

[0.87887824 0.11894324 0.00217852]

1.0

很明显程序的输出结果和我们手动计算的结果是一样的。

Pytorch 中的 Softmax 函数定义如下:

def softmax(x):
    return torch.exp(x)/torch.sum(torch.exp(x), dim=1).view(-1,1)

dim=1 用于 torch.sum() 对所有列的每一行求和，.view(-1,1) 用于防止广播。

2.5，为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数？

回归问题通常用均方差损失函数，可以保证损失函数是个凸函数，即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话，损失函数的表现不是凸函数，就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。

分类问题的最后一层网络，需要分类函数，Sigmoid 或者 Softmax，如果再接均方差函数的话，其求导结果复杂，运算量比较大。用交叉熵函数的话，可以得到比较简单的计算结果，一个简单的减法就可以得到反向误差。

三，回归损失

与分类问题不同，回归问题解决的是对具体数值的预测。解决回归问题的神经网络一般只有只有一个输出节点，这个节点的输出值就是预测值。

回归问题的一个基本概念是残差或称为预测误差，用于衡量模型预测值与真实标记的靠近程度。假设回归问题中对应于第 $i$ 个输入特征 $x_i$ 的标签为 $y^i=(y_1,y_2,...,y_M{)}^{\top }$，$M$ 为标记向量总维度，则 $l_t^i$ 即表示样本 $i$ 上神经网络的回归预测值 ($y^i$) 与其样本标签值在第 $t$ 维的预测误差(亦称残差):

$$l_t^i=y_t^i-{\hat{y}}_t^i$$

常用的两种损失函数为 $\text{MAE}$（也叫 L1 损失） 和 $\text{MSE}$ 损失函数（也叫 L2 损失）。

3.1，MAE 损失

平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）是用于回归模型的最简单但最强大的损失函数之一。

因为存在离群值（与其余数据差异很大的值），所以回归问题可能具有本质上不是严格高斯分布的变量。 在这种情况下，平均绝对误差将是一个理想的选择，因为它没有考虑异常值的方向（不切实际的高正值或负值）。

顾名思义，MAE 是目标值和预测值之差的绝对值之和。$n$ 是数据集中数据点的总数，其公式如下:
$$\text{MAE loss}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^N\sum _{t=1}^M|y_t^i-{\hat{y}}_t^i|$$

3.2，MSE 损失

均方误差（Mean Square Error, MSE）几乎是每个数据科学家在回归损失函数方面的偏好，这是因为大多数变量都可以建模为高斯分布。

均方误差计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和。预测值和真实值越接近，两者的均方差就越小。公式如下:

$$\text{MSE loss}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^N\sum _{t=1}^M(y_t^i-{\hat{y}}_t^i{)}^2$$

3.3，Huber 损失

MAE 和 MSE 损失之间的比较产生以下结果：

1. MAE 损失比 MSE 损失更稳健。仔细查看公式，可以观察到如果预测值和实际值之间的差异很大，与 MAE 相比，MSE 损失会放大效果。 由于 MSE 会屈服于异常值，因此 MAE 损失函数是更稳健的损失函数。

2. MAE 损失不如 MSE 损失稳定。由于 MAE 损失处理的是距离差异，因此一个小的水平变化都可能导致回归线波动很大。在多次迭代中发生的影响将导致迭代之间的斜率发生显著变化。总结就是，MSE 可以确保回归线轻微移动以对数据点进行小幅调整。

3. MAE 损失更新的梯度始终相同。即使对于很小的损失值，梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了解决这个缺陷，我们可以使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。

4. MSE 损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。其使用固定的学习率也可以有效收敛。

Huber Loss 结合了 MAE 的稳健性和 MSE 的稳定性，本质上是 MAE 和 MSE 损失中最好的。对于大误差，它是线性的，对于小误差，它本质上是二次的。

Huber Loss 的特征在于参数 $\delta$。当 $|y-\hat{y}|$ 小于一个事先指定的值 $\delta $ 时，变为平方损失，大于 $\delta $ 时，则变成类似于绝对值损失，因此其是比较robust 的损失函数。其定义如下:

$$\text{Huber loss}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}[y_t^i-{\hat{y}}_t^i{]}^2& |y_t^i-{\hat{y}}_t^i|\le \delta \\ \delta |y_t^i-{\hat{y}}_t^i|-\frac{1}{2}{\delta }^2& |y_t^i-{\hat{y}}_t^i)|>\delta \end{array}$$

三种回归损失函数的曲线图比较如下：

代码来源 Loss Function Plot.ipynb。

三种回归损失函数的其他形式定义如下:

3.4，代码实现

下面是三种回归损失函数的 python 代码实现，以及对应的 sklearn 库的内置函数。

# true: Array of true target variable
# pred: Array of predictions
def mse(true, pred):
    return np.sum((true - pred)**2)

def mae(true, pred):
    return np.sum(np.abs(true - pred))

def huber(true, pred, delta):
    loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2),delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2))

    return np.sum(loss)

# also available in sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

参考资料

1. 《动手学深度学习-22.11. Information Theory》
2. 损失函数｜交叉熵损失函数
3. AI-EDU: 交叉熵损失函数
4. 常见回归和分类损失函数比较
5. 《PyTorch_tutorial_0.0.5_余霆嵩》
6. https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.CrossEntropyLoss.html
7. 一文详解Softmax函数
8. AI-EDU: 多分类函数