1. 训练

在了解了上述统计工具后，让我们在实践中尝试一下！首先，我们生成一些数据：(使用正弦函数和一些可加性噪声来生成序列数据，时间步为 1,2,…,1000 。)

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

T = 1000  # 总共产生1000个点
time = torch.arange(1, T + 1, dtype=torch.float32)
x = torch.sin(0.01 * time) + torch.normal(0, 0.2, (T,))
d2l.plot(time, [x], 'time', 'x', xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

运行结果：

在这里插入图片描述

接下来，我们将这个序列转换为模型的特征－标签（feature-label）对。基于嵌入维度 𝜏 ，我们将数据映射为数据对 𝑦𝑡=𝑥𝑡 和 𝐱𝑡=[𝑥𝑡−𝜏,…,𝑥𝑡−1] 。这比我们提供的数据样本少了 𝜏 个，因为我们没有足够的历史记录来描述前 𝜏 个数据样本。

一个简单的解决办法是：如果拥有足够长的序列就丢弃这几项；另一个方法是用零填充序列。在这里，我们仅使用前600个“特征－标签”对进行训练。

tau = 4
# 因为是用过去4个样本来预测未来一个时刻，那么第1-4个时刻的数据是被用来预测第5个时刻
# 因此，只有后面5～T这T-4个数据是由前面4个时刻预测来的。
# 所以样本数为T-tau。而因为每个样本是由前tau个数据预测来的，所以
# 横坐标表示样本，纵坐标表示每个样本对应的前面tau个数据
features = torch.zeros((T - tau, tau))
# 通过for 循环对features矩阵赋值
for i in range(tau):
    features[:, i] = x[i: T - tau + i]
labels = x[tau:].reshape((-1, 1))

batch_size, n_train = 16, 600
# 只有前n_train个样本用于训练
train_iter = d2l.load_array((features[:n_train], labels[:n_train]),
                            batch_size, is_train=True)

在这里，我们使用一个相当简单的架构训练模型： 一个拥有两个全连接层的多层感知机，ReLU激活函数和平方损失。

# 初始化网络权重的函数
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.xavier_uniform_(m.weight)

# 一个简单的多层感知机
def get_net():
    net = nn.Sequential(nn.Linear(4, 10),
                        nn.ReLU(),
                        nn.Linear(10, 1))
    net.apply(init_weights)
    return net

# 平方损失。注意：MSELoss计算平方误差时不带系数1/2
loss = nn.MSELoss(reduction='none')

现在，准备训练模型了。实现下面的训练代码的方式与前面几节中的循环训练基本相同。因此，我们不会深入探讨太多细节。

def train(net, train_iter, loss, epochs, lr):
    trainer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr)
    for epoch in range(epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.sum().backward()
            trainer.step()
        print(f'epoch {epoch + 1}, '
              f'loss: {d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss):f}')

net = get_net()
train(net, train_iter, loss, 5, 0.01)

运行结果：

在这里插入图片描述

2. 预测

由于训练损失很小，因此我们期望模型能有很好的工作效果。让我们看看这在实践中意味着什么。首先是检查模型预测下一个时间步的能力，也就是单步预测（one-step-ahead prediction）。

onestep_preds = net(features)
d2l.plot([time, time[tau:]],
         [x.detach().numpy(), onestep_preds.detach().numpy()], 'time',
         'x', legend=['data', '1-step preds'], xlim=[1, 1000],
         figsize=(6, 3))

运行结果：

在这里插入图片描述

正如我们所料，单步预测效果不错。即使这些预测的时间步超过了 600+4 （n_train + tau），其结果看起来仍然是可信的。然而有一个小问题：如果数据观察序列的时间步只到 604 ，我们需要一步一步地向前迈进：
在这里插入图片描述

通常，对于直到 𝑥𝑡 的观测序列，其在时间步 𝑡+𝑘 处的预测输出 𝑥̂ 𝑡+𝑘 称为 𝑘 步预测（ 𝑘 -step-ahead-prediction）。由于我们的观察已经到了 𝑥604 ，它的 𝑘 步预测是 𝑥̂ 604+𝑘 。换句话说，我们必须使用我们自己的预测（而不是原始数据）来进行多步预测。让我们看看效果如何。

multistep_preds = torch.zeros(T)
multistep_preds[: n_train + tau] = x[: n_train + tau]
for i in range(n_train + tau, T):
    multistep_preds[i] = net(
        multistep_preds[i - tau:i].reshape((1, -1)))

d2l.plot([time, time[tau:], time[n_train + tau:]],
         [x.detach().numpy(), onestep_preds.detach().numpy(),
          multistep_preds[n_train + tau:].detach().numpy()], 'time',
         'x', legend=['data', '1-step preds', 'multistep preds'],
         xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

在这里插入图片描述

上图这个预测是多步预测，也是1000-604+1=397步预测，也就是前604步来预测后面的397步。这样相当于误差累计了307次。

如上面的例子所示，绿线的预测显然并不理想。经过几个预测步骤之后，预测的结果很快就会衰减到一个常数。为什么这个算法效果这么差呢？事实是由于错误的累积：假设在步骤 1 之后，我们积累了一些错误 𝜖1=𝜖¯ 。于是，步骤 2 的输入被扰动了 𝜖1 ，结果积累的误差是依照次序的 𝜖2=𝜖¯+𝑐𝜖1 ，其中 𝑐 为某个常数，后面的预测误差依此类推。因此误差可能会相当快地偏离真实的观测结果。

每次预测都有一点误差，这个误差进入到下一个数据的预测，误差又会增加，一直迭代下去，累积误差。

例如，未来 24 小时的天气预报往往相当准确，但超过这一点，精度就会迅速下降。我们将在本章及后续章节中讨论如何改进这一点。

基于 𝑘=1,4,16,64 ，通过对整个序列预测的计算，让我们更仔细地看一下 𝑘 步预测的困难。

4步预测的意思是，用前面4步0，1，2，3来预测后面4步4，5，6，7，那么4通过0，1，2，3来预测，5通过1，2，3，4来预测，依此类推。那16步预测就是用前面4步来预测后面16步。

max_steps = 64

features = torch.zeros((T - tau - max_steps + 1, tau + max_steps))
# 列i（i<tau）是来自x的观测，其时间步从（i）到（i+T-tau-max_steps+1）
for i in range(tau):
    features[:, i] = x[i: i + T - tau - max_steps + 1]

# 列i（i>=tau）是来自（i-tau+1）步的预测，其时间步从（i）到（i+T-tau-max_steps+1）
for i in range(tau, tau + max_steps):
    features[:, i] = net(features[:, i - tau:i]).reshape(-1)

steps = (1, 4, 16, 64)
d2l.plot([time[tau + i - 1: T - max_steps + i] for i in steps],
         [features[:, tau + i - 1].detach().numpy() for i in steps], 'time', 'x',
         legend=[f'{i}-step preds' for i in steps], xlim=[5, 1000],
         figsize=(6, 3))