【数据结构】最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）解析+完整代码

5.1 最小生成树

定义

对一个带权连通无向图 $G = (V, E)$ ，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。

设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树（MST）。
性质

1.最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的；

2.最小生成树的边数=顶点数-1。砍掉一条则不连通，增加一条会出现回路；

3.如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身；

4.只有连通图才有最小生成树，非连通图只有生成森林。

5.1.1 Prim算法

定义

从某一个顶点开始构建生成树；

每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。
- 即选最小权值的结点
时间复杂度

$O(|V|^2)$ ，适用于稠密图（|E|大的）。
算法的实现思想
- 思路：
  
  从 $V_0$ 开始，总共需要n-1轮处理。
  
  第一轮处理：循环遍历所有个结点，找到lowCast最低的，且还没加入树的顶点。
  
  再次循环遍历，更新还没加入的各个顶点的lowCast值。
- 代码步骤：
  
  1.创建isJoin数组，初始为false，判断结点是否加入树。
  
  2.创建lowCost数组，用于存储到该结点的最短距离。
  
  3.从 $v_0$ 开始，将与其连接的权值加入到lowCost数组中。
  
  4.遍历lowCast数组，找到最小值，将其加入树中，并继续遍历与其相连的边。

5.1.2 Kruskal算法

定义

每次选则一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的不选），直到所有结点都连通。
- 即每次选最小的边
时间复杂度

$O(|E|log_2|E|)$ ，适用于边稀疏图。
算法的实现思想
- 思路：
  
  初始：将各条边按权值排序。
  
  共执行e轮，每轮判断两个顶点是否属于同一集合，需要 $O(log_2e)$

5.1.3 最小生成树代码

A.邻接矩阵

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define V 5 // 图的顶点数

// 找到距离集合最近的顶点
int min_key(int key[], bool mst_set[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < V; v++) {
        if (mst_set[v] == false && key[v] < min) {
            min = key[v];
            min_index = v;
        }
    }
    return min_index;
}

// 打印最小生成树
void print_mst(int parent[], int graph[V][V]) {
    printf("Edge   Weight\n");
    for (int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d    %d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

// Prim算法
void prim_mst(int graph[V][V]) {
    int parent[V]; // 存放最小生成树的父节点
    int lowCost[V];    // 用于存放顶点到最小生成树的最小权重
    bool isJoin[V]; // 记录顶点是否已经加入最小生成树

    for (int i = 0; i < V; i++) {
        lowCost[i] = INT_MAX;
        isJoin[i] = false;
    }

    lowCost[0] = 0; // 初始点为0
    parent[0] = -1; // 根节点没有父节点

    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = min_key(lowCost, isJoin);
        isJoin[u] = true;

        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (graph[u][v] && !isJoin[v] && graph[u][v] < lowCost[v]) {
                parent[v] = u;
                lowCost[v] = graph[u][v];
            }
        }
    }

    print_mst(parent, graph);
}

// Kruskal算法

// 结构体用于表示边
struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

// 比较函数，用于排序
int compare(const void* a, const void* b) {
    return ((struct Edge*)a)->weight - ((struct Edge*)b)->weight;
}

// 查找函数，用于查找集合的根节点
int find(int parent[], int i) {
    if (parent[i] == -1)
        return i;
    return find(parent, parent[i]);
}

// 合并函数，用于合并两个集合
void Union(int parent[], int x, int y) {
    int xset = find(parent, x);
    int yset = find(parent, y);
    parent[xset] = yset;
}

// Kruskal算法
void kruskal_mst(int graph[V][V]) {
    struct Edge result[V]; // 用于存放最小生成树的边
    int e = 0; // 表示result数组中的边数
    int i = 0; // 表示当前考虑的边

    // 边集合
    struct Edge edges[V*V];
    for (int u = 0; u < V; u++) {
        for (int v = u + 1; v < V; v++) {
            if (graph[u][v] != 0) {
                edges[e].src = u;
                edges[e].dest = v;
                edges[e].weight = graph[u][v];
                e++;
            }
        }
    }

    // 根据权重对边进行排序
    qsort(edges, e, sizeof(edges[0]), compare);

    int parent[V]; // 用于记录每个顶点的父节点
    for (int v = 0; v < V; v++)
        parent[v] = -1;

    // 最小生成树的边数小于V-1时继续
    while (i < V - 1 && e > 0) {
        struct Edge next_edge = edges[--e];

        // 检查是否会产生环
        int x = find(parent, next_edge.src);
        int y = find(parent, next_edge.dest);

        if (x != y) {
            result[i++] = next_edge;
            Union(parent, x, y);
        }
    }

    printf("Edge   Weight\n");
    for (int i = 0; i < V - 1; i++)
        printf("%d - %d    %d \n", result[i].src, result[i].dest, result[i].weight);
}

// 测试主函数
int main() {
    int graph[V][V] = {
            {0, 2, 0, 6, 0},
            {2, 0, 3, 8, 5},
            {0, 3, 0, 0, 7},
            {6, 8, 0, 0, 9},
            {0, 5, 7, 9, 0}
    };

    printf("Prim's Minimum Spanning Tree:\n");
    prim_mst(graph);

    printf("\nKruskal's Minimum Spanning Tree:\n");
    kruskal_mst(graph);

    return 0;
}

在这里插入图片描述

B.邻接表

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define MaxVertexNum 100
#define INF 9999

typedef struct ArcNode {
    int adjvex;
    int weight;
    struct ArcNode *next;
} ArcNode;

typedef struct VNode {
    int data;
    ArcNode *first;
} VNode, AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct {
    AdjList vertices;
    int vexnum, arcnum;
} ALGraph;

void InitALGraph(ALGraph *G, int vexnum, int arcnum) {
    G->vexnum = vexnum;
    G->arcnum = arcnum;
    for (int i = 0; i < vexnum; i++) {
        G->vertices[i].data = i;
        G->vertices[i].first = NULL;
    }
}

void AddEdgeUndirectedALGraph(ALGraph *G, int v1, int v2, int weight) {
    ArcNode *arcNode1 = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
    arcNode1->adjvex = v2;
    arcNode1->weight = weight;
    arcNode1->next = G->vertices[v1].first;
    G->vertices[v1].first = arcNode1;

    ArcNode *arcNode2 = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
    arcNode2->adjvex = v1;
    arcNode2->weight = weight;
    arcNode2->next = G->vertices[v2].first;
    G->vertices[v2].first = arcNode2;
}

void PrintALGraph(ALGraph G) {
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        printf("%d -> ", G.vertices[i].data);
        ArcNode *p = G.vertices[i].first;
        while (p != NULL) {
            printf("(%d, %d) ", p->adjvex, p->weight);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

// Prim算法
void Prim(ALGraph G) {
    int lowCost[G.vexnum], parent[G.vexnum];
    bool inMST[G.vexnum];

    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        lowCost[i] = INF;
        parent[i] = -1;
        inMST[i] = false;
    }

    lowCost[0] = 0;

    for (int i = 0; i < G.vexnum - 1; i++) {
        int minIndex, minCost = INF;
        for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            if (!inMST[j] && lowCost[j] < minCost) {
                minCost = lowCost[j];
                minIndex = j;
            }
        }

        inMST[minIndex] = true;

        ArcNode *p = G.vertices[minIndex].first;
        while (p != NULL) {
            if (!inMST[p->adjvex] && p->weight < lowCost[p->adjvex]) {
                lowCost[p->adjvex] = p->weight;
                parent[p->adjvex] = minIndex;
            }
            p = p->next;
        }
    }

    printf("Edge   Weight\n");
    for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {
        printf("%d - %d    %d\n", parent[i], i, lowCost[i]);
    }
}

// Kruskal算法
typedef struct {
    int src, dest, weight;
} Edge;

int find(int parent[], int i) {
    if (parent[i] == -1)
        return i;
    return find(parent, parent[i]);
}

void Union(int parent[], int x, int y) {
    int xset = find(parent, x);
    int yset = find(parent, y);
    parent[xset] = yset;
}

int compare(const void *a, const void *b) {
    return ((Edge *)a)->weight - ((Edge *)b)->weight;
}

void Kruskal(ALGraph G) {
    Edge result[G.arcnum];
    Edge edges[G.arcnum];
    int parent[G.vexnum];

    int e = 0;
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        ArcNode *p = G.vertices[i].first;
        while (p != NULL) {
            if (i < p->adjvex) {
                edges[e].src = i;
                edges[e].dest = p->adjvex;
                edges[e].weight = p->weight;
                e++;
            }
            p = p->next;
        }
    }

    qsort(edges, G.arcnum, sizeof(Edge), compare);

    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
        parent[i] = -1;

    int i = 0, j = 0;
    while (i < G.vexnum - 1 && j < G.arcnum) {
        Edge next_edge = edges[j++];

        int x = find(parent, next_edge.src);
        int y = find(parent, next_edge.dest);

        if (x != y) {
            result[i++] = next_edge;
            Union(parent, x, y);
        }
    }

    printf("Edge   Weight\n");
    for (int i = 0; i < G.vexnum - 1; i++) {
        printf("%d - %d    %d\n", result[i].src, result[i].dest, result[i].weight);
    }
}

int main() {
    ALGraph G;
    InitALGraph(&G, 5, 7);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 0, 1, 2);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 0, 3, 6);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 1, 2, 3);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 1, 3, 8);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 1, 4, 5);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 2, 4, 7);
    AddEdgeUndirectedALGraph(&G, 3, 4, 9);
    PrintALGraph(G);

    printf("Prim's Minimum Spanning Tree:\n");
    Prim(G);

    printf("\nKruskal's Minimum Spanning Tree:\n");
    Kruskal(G);

    return 0;
}