一. 两个案例

1）几何平均数计算：基金年平均增长率计算

在财务、投资和银行业的问题中，几何平均数的应用尤为常见，当你任何时候想确定过去几个连续时期的平均变化率时，都能应用几何平均数。其他通常的应用包括物种总体、农作物产量、污染水平以及出生率和死亡率的变化。

（a）题目

已知：某基金的近10年的年回报率(%) 数据如下：-22.1，28.7，10.9，4.9，15.8，5.5，-37，26.5，15.1，2.1，求该金融理财产品的平均增长率。

（b）分析

金融领域的平均增长大部分应使用几何平均数计算

可以得到该基金的增长因子的平均数为1.029275，以及该基金的年收益平均以2.9275%的速率增长。换句话说，对于2.9275%的年平均增长率，第1年年初在该基金的100美元投资额，第10年年末将增加到100*1.02927510=133.4493。必须要知道的是：年回报率的算术平均数与这个投资的平均年增长率不是一回事！！

如果在计算增长因子的平均数的时候没有用几何平均数而是用算术平均数：

可以得到该基金的增长因子的平均数为1.0504，以及该基金的年收益平均以5.04%的速率增长。
因此，如果平均增长因子确实为1.0504的话，第1年年初在该基金投资100美元，第10年年末将增加到但是实际上第10年年末的价值为133.45。平均年回报率为5.04%的声明极度夸大了该基金的实际增长率。

这个问题是样本平均数只适合于加法过程。对于乘法过程，诸如增长率的应用，几何平均数是合适的位置度量。

注意，几何平均数也可以用于发生在所有时间长度的连续时期的任何数量的变化率。除了年变化率外，几何平均数也常常用于发现季度、月、周以及天的平均变化率。

2）黑天鹅：不可预知的未来

黑天鹅是指那些极其罕见、难以预测且具有巨大影响的事件。这个概念最早由学者塔勒布在《黑天鹅：如何应对不可预知的未来》一书中提出。

为了让更好地理解“黑天鹅”在揭示和解释事件背后的原理，本文将通过统计分布图来说明。

当数据呈现类似于正态分布的形状，但却显示出一个很大的厚尾时（如下图），这可能暗示着潜在的非正态分布特征，这意味将很可能出现“黑天鹅事件”。

当厚尾分布偏向于负值时，意味着极端负面事件发生的概率将会增加。例如，在投资中，如果收益率呈现厚尾负向分布，那么投资组合可能更容易受到突发事件的影响，有可能会导致较大的损失。

当厚尾分布偏向于正值时，意味着极端正面事件发生的概率将会增加。人类的社会在很多情况下都是厚尾分布的，而不是正态分布的。比如：财富、薪资等。

简单地说，出现“黑天鹅事件”的概率要比正态分布出现极端值的概率大（正态分布的情况下，数据落在3σ之外的概率0.3%)。

虽然统计学方法有助于我们预测和分析数据，但在现实生活中总会遇到一些无法准确预测的情况。通过收集更多数据、进行详细的统计分析，并意识到需要审视前提假设和面对不确定性，我们可以更好地理解和应对未知事件的影响。

Bye！