一、01背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。（下图是例子，一下分析均由此图得来）

1、分析：

（1） 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有⼀种写法， 是使⽤⼆维数组，即dp[i][j] 表⽰从下标为[0-i]的物品⾥任意

取，放进体积为j的背包（即总体积不超过j），价值总和最⼤是多少。

dp[i][j]:表示所有选法集合中,只从前i个物品中选,并且总体积≤j的选法的集合,它的值是这个集合中每一个选法的最大值.

（2）划分集合、确定递推公式

划分集合：选不选物品i

不选i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，⾥⾯不放物品i的最⼤价值，此时dp[i][j]就是

dp[i - 1][j]

选i：由dp[i - 1][j - w[i]]推出，dp[i - 1][j - w[i]] 为背包容量为j - w[i]的时

候不放物品i的最⼤价值，那么dp[i - 1][j - w[i]] + value[i] （物品i的价值），

就是背包放物品i得到的最⼤价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

（3）dp数组的初始化

关于初始化，⼀定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

⾸先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，⽆论是选取哪些物品，背包

价值总和⼀定为0。如图：

在看其他情况。

状态转移⽅程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1推导出来，那么i为0的时候就⼀定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最⼤价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量⽐编号0的物品重量还

⼩。

当j >= weight[0]是，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放⾜够放编号0物品。

代码初始化如下：

// 当然这⼀步，如果把dp数组预先初始化为0了，这⼀步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这⼀点。
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) dp[0][j] = 0;

// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)  dp[0][j] = value[0];

此时dp数组初始化情况如图所⽰：

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上⽅数值推导出来的，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。但只不过⼀开始就统⼀把dp数组统⼀初始为0，更⽅便⼀些。

（4）确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

先遍历物品，然后遍历背包重量的代码：

// weight数组的⼤⼩ 就是物品个数
// 遍历物品
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) 
{   // 遍历背包容量
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) 
    { 
       if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组⾥元素的变化
       else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这⾥使⽤的⼆维dp数组）

2、代码：