1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

注意：二叉树的中序遍历是一个有序（升序）序列。 

2. 二叉搜索树的操作 

2.1  二叉搜索树的查找 

假设要查找的数为x 。

1. 从根节点开始比较，x大于根去右树找，小于根去左数找。

2. 最多查找高度次，如果走到空就代表没有找到，返回false。

2.2 二叉搜索树的插入

假设插入的数为x

1. 如果树为空，直接新增节点，将x赋值给root。

2.  如果树不为空，则查找x应该插入的位置，然后插入新节点。

2.3 二叉搜索树的删除 

 要删除某一结点，我们需要考虑该节点是否有孩子，并在其子树中择一节点放入该节点的位置。

因此删除我们不仅要知道该节点，还要知道该节点的孩子，同时还要知道该节点的父亲，才能向该节点插入其孩子。但是，如果我们使用递归，传入该节点的引用，我们就可以直接对该节点进行操作而不需要知道其父节点。

删除分为以下几种情况：设要删除的节点为cur，其父亲为parent <因为树是单向的，要链接节点必须知道上一层的位置>

1. cur没有孩子，那么直接删除即可

2. cur左右子树有一个为空，这时候需要将他不为空的一侧孩子挪到cur处，由于我们并不知道cur在parent的哪一侧，因此需要判断cur在parent的哪一侧，然后进行删除与覆盖。

3. cur左右子树都不为空，这时候我们会选择将左树的最右节点or右树的最左节点替换到cur处，以右树的最左节点为例，此时只需要考虑替换后的cur是否有右树< 注意，这里右树的最左节点有可能是cur的右孩子，如果该节点有右树，将其右孩子给他即可>。回到第二步。

3.二叉搜索树的实现

3.1 Find

Node* Find(const K& key)//查找结点，返回其位置
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

3.2 Insert 

bool Insert(const K& key, const V& value)//插入
{
	if (_root == nullptr)//如果空树，直接构建根节点
	{
		_root = new Node(key, value);
		return true;
	}
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;//由于树是单向的，因此我们需要知道插入结点的父亲才能进行链接
	while (cur)//寻找要插入的节点位置：不为空说明已有
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(key, value);
	if (key < parent->_key)//确定要插入节点在父亲的左还是右
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}
	return true;
}

3.3 Erase 

bool Erase(const K& key)//删除
{
	Node* cur = _root, * parent = nullptr;//同样需要记录被删除的节点父亲，要用别的节点替换，与树进行链接
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			if (cur->_left == nullptr)//cur只有一个节点或没有节点
			{
				if (cur == _root)//cur可能在根节点处
				{
					_root = cur->_right;
				}
				if (cur == parent->_right)
				{
					parent->_right = cur->_right;
				}
				else if (cur == parent->_left)
				{
					parent->_left = cur->_right;
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)//cur只有一个节点或没有节点
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				if (cur == parent->_right)
				{
					parent->_right = cur->_left;
				}
				else if (cur == parent->_left)
				{
					parent->_left = cur->_left;
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			else//cur有两个节点，需要替换法，找右树的最左节点
			{
				Node* rightminParent = cur;
				Node* rightmin = cur->_right;
				while (rightmin->_left)
				{
					rightminParent = rightmin;
					rightmin = rightmin->_left;
				}
				
				cur->_key = rightmin->_key;
				cur->_value = rightmin->_value;
				if (rightminParent->_right = rightmin)//右树如果没有左树，那么最左节点就是cur->right
					rightminParent->_right = rightmin->_right;
				else
					rightminParent->_left = rightmin->_right;
				delete rightmin;
				return true;
			}
		}
	}
		return false;
}

3.4 Inorder 

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " : " << root->_value << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

3.5 测试代码 

	void TestBSTree()
	{
		BSTree<string, string> dict;
		dict.Insert("insert", "插入");
		dict.Insert("erase", "删除");
		dict.Insert("left", "左边");
		dict.Insert("string", "字符串");

		dict.InOrder();
		string str = "insert";
		dict.Erase(str);
		dict.InOrder();
		string str1 = "insert";
		BSTreeNode<string,string>* ret = dict.Find(str1);
		if (ret == nullptr)
		{
			cout << str1<<"没有找到！" << endl;
		}
		else
			cout << str1 << " : " << ret->_value << endl;
		cout << endl;

		string strs[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果" };
		// 统计水果出现的次
		BSTree<string, int> countTree;
		for (auto str : strs)
		{
			auto ret = countTree.Find(str);
			if (ret == NULL)
			{
				countTree.Insert(str, 1);
			}
			else
			{
				ret->_value++;
			}
		}
		countTree.InOrder();
	}

3.5 运行结果

当然，这些接口都可以用递归实现，不过只有Erase有用递归实现的价值，在Erase中传入节点的别名，可以避免记录节点的父亲。 

4. 二叉搜索树的应用

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见：
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是<word, count>就构成一种键值对。我们上面模拟实现的二叉搜索树就是KV模型。

5. 二叉搜索树的性能分析

从上面的实现中我们可以看出，无论是删除还是插入，我们都需要先进行查找，因此查找在一定程度上就表明了二叉搜索树的性能。

那么二叉搜索树的性能怎么样呢？

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

对于上面的二叉搜索树，其查找效率是截然不同的。

因此我们可以得出结论：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：logN* N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：N^2