18.AVL树的模拟实现

news2024/12/24 2:51:25

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2 n)，搜索时间复杂度O(log2 n)。

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2. AVL树节点的定义

// 节点的类模板
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
    // 键对值的对象 _kv
	pair<K, V> _kv;
    // 左子树的根节点
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
    // 右子树的根节点
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
    // 父节点
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;  // balance factor:平衡因子

    // 节点的构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

3.insert

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
    // 如果根节点_root，那么就创建新节点，并其赋值给_root
    // 返回真，表示插入成功
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

    // 将父亲节点初始化为空
	Node* parent = nullptr;
    // 将当前节点cur初始化为根节点
	Node* cur = _root;
    
    // 第一步：找到kv键值对要插入的位置
	while (cur)
	{
        // 1.cur节点对应的key值小于将要插入的key值
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
            // 迭代
			parent = cur;
            // 向右子树走
			cur = cur->_right;
		}
        // 2.cur节点对应的key值大于将要插入的key值
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
            // 迭代
			parent = cur;
            // 向左走
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
            // 3.如果相等，根据二叉搜索树的性质(不允许出现重复的key值)
			return false;
		}
	}

    // 第二步：创建新节点，使用要插入的kv来初始化这个新节点
    // 1.parent是指向cur的，根据二叉搜索树的性质
	cur = new Node(kv);
    // 2.如果parent节点的key值小于要插入的key值，那么cur连接到parent的右子树
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
        // 父节点指向cur
		parent->_right = cur;
        // cur指向父节点
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

    
	// 第三步：更新平衡因子
    // 当parent为空，也就更新到了整棵树的根节点
	while (parent) 
	{
        // 3.1 因为新添加了一个节点，所以要更新其对应parent的平衡因子
        // 平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度
        // 新增在右，parent->bf++;
        // 新增在左，parent->bf--;
        if (cur == parent->_left)
        {
            parent->_bf--;
        }
        else
        {
            parent->_bf++;
        }
        

		// 3.2 是否继续更新依据：子树的高度是否变化
        // 如下图所示
		// 情况1:更新后：parent->_bf == 0 
        // 说明插入节点之前 parent->_bf 是 1 或者 -1
		// 说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
        
		// 情况2、
        // 更新后：parent->_bf == 1 或 -1 
        // 说明插入节点之前是 parent->_bf == 0，两边一样高，现在插入一边更高了，parent所在子树高度变了，继续往上更新
        
		// 情况3、
        // 更新后：parent->_bf == 2 或 -2，
        // 说明之前parent->_bf == 1 或者 -1，现在插入节点严重不平衡，违反规则，就地处理--旋转
		// 旋转：
		// 1、让这颗子树左右高度差不超过1
		// 2、旋转过程中继续保持他是搜索树
		// 3、更新调整孩子节点的平衡因子
		// 4、让这颗子树的高度跟插入前保持一致
        
        
        // 3.3 迭代更新
        // 情况1：不需要继续往上更新，因此直接跳出循环就可以
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
        // 情况2：继续往上更新（情况2向上更新可能会变为情况3，也可能迭代到parent为空，跳出循环）
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
            // 向cur的父亲节点进行迭代
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			// 情况3：此时必须进行旋转了旋转
            // 3.1 当前节点cur的父节点的平衡因子为2，当前节点的平衡因子为1
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
                // 3.2
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

			break;
		}
		else
		{
            // 如果不满足上面的三种情况，那么就会直接报错
			assert(false);
		}
	}

	return true;
}

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3.1 旋转

​ 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

左单旋

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思路：

  1. val为30的这个节点的右子树的根节点的val值必然大于30（根据二叉搜索树的性质）,因此将val值为60的节点的左子树根节点链接到30的右子树

  2. 将30的根节点链接到60的左子树

  3. 这样就完成了左旋

void RotateL(Node* parent)
{
    // 第一步：
    // subR、subRL、parent的关系如上图所示
    // subR 是根节点的右子树的根节点
    // subRL 是根节点subR的左子树的根节点
    // parent 是整棵树的根节点
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

    // 1.将subR的左子树根节点连接到parent节点的右子树（完成单向连接）
	parent->_right = subRL;
    
    // 2.如果subRL不为空，则它的父指针需要指向parent整棵树的根节点（完成双向连接）
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent; 

    // 第二步：
    // 提前保存整颗二叉树的根节点parent的父节点指针，保存为ppNode
	Node* ppNode = parent->_parent;
    
    // 将parent为根节点的树连接到subR的左子树（单向连接）
	subR->_left = parent;
    
    // 让parent的父节点的指针指向subR（完成双向连接）
	parent->_parent = subR;

    
	// 第三步：连接新树的根节点subR到ppNode
	if (ppNode == nullptr)
	{
        // 如果ppNode为空，说明parent之前的parent->parent为空
        // 此时经过旋转subR就是新树的根节点，所以根节点的父指针需要指向空
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
        //  说明parent之前不是根节点，那么就需要将其与原本的parent的上一层节点链接起来
        //  此时ppNode的左子树，或者右子树还指向parent
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subR;
		}

        // subR的父节点也需要指向ppNode
		subR->_parent = ppNode;
	}
    
    // 第四步：更新平衡因子
	// 经过旋转之后，parent和subR的左右子树是平衡的，因此平衡因子为0
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

右单旋

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//  思路与左单旋一致
void RotateR(Node* parent)
{
    // 第一步：
    // parent是整棵树的根节点
    // subL是parent左子树的根节点
	Node* subL = parent->_left;
    // subLR 是subL节点右子树的根节点
	Node* subLR = subL->_right;

    // 第二步：
    // 1.parent的left指针指向subLR(单向连接)
	parent->_left = subLR;
    
    // 2.subLR的父指针指向parent(完成双向连接)
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}

    // 第二步：
    // 1.保存parent的父指针为ppNode
	Node* ppNode = parent->_parent;
    // 2.subL是新树的根节点，subL的右指针，指向parent(单向连接)
	subL->_right = parent;
    // 3.parent的父指针指向subL(完成双向连接)
	parent->_parent = subL;

    
    // 第三步：将新树的根节点subL与ppNode完成双向连接
	//if (_root == parent)
	if (ppNode == nullptr)
	{
        // 如果ppNode为空，那么subL就是根节点，没有上层节点可以连接
		_root = subL;
        // 所以_root的父节点为空
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
        // 如果ppNode->_left指向parent节点，那么ppNode左子树的根节点为subL(单向连接)
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}

        // subL的父指针指向ppNode(完成双向连接)
		subL->_parent = ppNode;
	}

    // 第四步：更新平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

先左单旋，再右单旋

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void RotateLR(Node* parent)
{
    // parent->_left 指向的就是左单旋的根节点
	Node* subL = parent->_left;
    // subL->_right 就是新增的节点的子树的根节点
	Node* subLR = subL->_right;
    
    // 最终判断 subL  subLR  parent的平衡因子，
    // 需要根据新增节点后的subLR->_bf(平衡因子)来判断，因此先保存,旋转后它（平衡因子）将会改变
	int bf = subLR->_bf;

    // 以parent->_left指向的节点为根节点进行左旋
	RotateL(parent->_left);
    // 以parent节点为根节点进行右旋
	RotateR(parent);

	if (bf == -1) 
	{
        // 情况1(更新平衡因子，如上图所示，如果是b新增节点，那么旋转后为情况1)
        // subLR左子树新增，经过左右双旋后的平衡因子
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1) 
	{
        // 情况2(更新平衡因子，如上图所示，如果是c新增节点，那么旋转后为情况2)
        // subLR右子树新增，经过左右双旋后的平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0) 
	{
        // 情况3(更新平衡因子，如上图所示，如果h为0，val值为60的节点是新增节点，那么旋转后为情况3)
        // subLR节点本身就是新增节点，，经过左右双旋后的平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

先右单旋，再左单旋

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// 思路与先左单旋，再右单旋一致
void RotateRL(Node* parent)
{
    // parent->_right 指向的就是右单旋的根节点
	Node* subR = parent->_right;
    // 新增节点所在子树的根节点为subR->_left
	Node* subRL = subR->_left;
    
    // 最终判断 subL  subLR  parent的平衡因子，
    // 需要根据新增节点后的subLR->_bf(平衡因子)来判断，因此先保存,旋转后它（平衡因子）将会改变
	int bf = subRL->_bf;
    
    // parent->_right 指向的就是右单旋的根节点
	RotateR(parent->_right);
    // parent是左单旋的根节点
	RotateL(parent);

	if (bf == 1)
	{
        // 情况1：b树新增节点时
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
        // 情况2：c树新增节点时
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
        // 情况3：h的高度为0时
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

4.中序遍历

void Inorder()
{
	_Inorder(_root);
}

void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;

	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_Inorder(root->_right);
}

5.AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

  1. 验证其为平衡树
  • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
  • 节点的平衡因子是否计算正确

平衡的验证

bool IsBalance()
{
	return IsBalance(_root);
}


int Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	
    // 左子树的高度
	int lh = Height(root->_left);
    // 右子树的高度
	int rh = Height(root->_right);

    // 如果左子树的高度大于右子树的高度，那么左子树的高度+1,并返回，
    // 反之右子树的高度+1，并返回
    // 如果左右子树高度相等，那么返回0
	return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

// 验证平衡，也就是验证左右子树的高度差的绝对值要小于2
bool IsBalance(Node* root)
{
    // 
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}

    // 左子树的高度
	int leftHeight = Height(root->_left);
    // 右子树的高度
	int rightHeight = Height(root->_right);

    // 如果右子树的高度减左子树的高低，得到的平衡因子与根节点的平衡因子不一致，说明平衡因子异常
	if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
	{
		cout << root->_kv.first <<"平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}
	
    //  需要判断整颗树，和子树的(左右子树的)高度差的绝对值都是小于2的，因此要递归到每一个子树
	return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
		&& IsBalance(root->_left)
		&& IsBalance(root->_right);
}

6.类模板

#pragma once
#include <assert.h>
#include <time.h>

// AVL树节点的类模板
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};


// AVL树的类模板
template<class K, class V>
struct AVLTree
{
    // 将AVL树节点的类模板类型定义为Node
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
    // 插入函数
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		// 1、更新平衡因子
		while (parent) // parent为空，也就更新到根
		{
			// 新增在右，parent->bf++;
			// 新增在左，parent->bf--;
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			// 是否继续更新依据：子树的高度是否变化
			// 1、parent->_bf == 0说明之前parent->_bf是 1 或者 -1
			// 说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
			// 2、parent->_bf == 1 或 -1 说明之前是parent->_bf == 0，两边一样高，现在插入一边更高了，
			// parent所在子树高度变了，继续往上更新
			// 3、parent->_bf == 2 或 -2，说明之前parent->_bf == 1 或者 -1，现在插入严重不平衡，违反规则
			// 就地处理--旋转

			// 旋转：
			// 1、让这颗子树左右高度不超过1
			// 2、旋转过程中继续保持他是搜索树
			// 3、更新调整孩子节点的平衡因子
			// 4、让这颗子树的高度跟插入前保持一致
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

    
    // 左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;


		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

    
    // 右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		//if (_root == parent)
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

    
    // 先左单旋，再右单旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1) // subLR左子树新增
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1) // subLR右子树新增
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0) // subLR自己就是新增
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

    
    // 先右单旋，再左单旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

    // 中序遍历
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		
		int lh = Height(root->_left);
		int rh = Height(root->_right);

		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
	
    
    // 判断是否平衡
	bool IsBalance()
	{
		return IsBalance(_root);
	}

	bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout <<root->_kv.first<<"平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& IsBalance(root->_left)
			&& IsBalance(root->_right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

7.验证用例

  • 常规场景1

{16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}

  • 特殊场景2

{4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

image-20240424164158931

void TestAVLTree1()
{
	srand(time(0));
	const size_t N = 100000;
	AVLTree<int, int> t;
    
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		size_t x = rand();
		t.Insert(make_pair(x, x));
		//cout << t.IsBalance() << endl;
	}

	//t.Inorder();

	cout << t.IsBalance() << endl;
}

8.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log_2 (N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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