意图

数据结构中经常用到递归，递归分析和优化也是必要的，记录下递归分析

目标

• 理解不同递归形式（线性递归、二分递归和多分支递归等），如何选择应用以实现（遍历、分治等）算法策略。
• 利用递归跟踪和递推方程等方法分析递归算法的复杂度。

1. 线性递归

数组求和

//逐一取出每个元素，累加之
int sum ( int A[], int n ) { //数组求和算法（线性递归版）
	if ( 1 > n ) //平凡情况，递归基
		return 0; //直接（非递归式）计算
	else //一般情冴
		return sum ( A, n - 1 ) + A[n - 1]; //递归：前n - 1项求和，再累计第n - 1项
} //O(1)*递归深度 = O(1)*(n + 1) = O(n)

• 无论A[]内容如何，都有
  T(n) = 1 + n*1 + 1 = n + 2 =O(n) = Ω(n) = Θ(n)

• 递归必须得有个出口，不能无限递归

首先判断并处理n = 0之类的平凡情况，以免因无限递归而导致系统溢出。这类平凡情况统称“递归基”。平凡情况可能有多种，但至少要有一种（比如此处），且迟早必然会出现。

线性递归

算法sum()可能朝着更深一层进行自我调用，且每一递归实例对自身的调用至多一次。于是，每一层次上至多只有一个实例，且它们构成一个线性的次序关系。此类递归模式因而称作“线性递归”。

减而治之

线性递归的模式，往往对应于所谓减而治之的算法策略。

2. 递归分析

递归跟踪与递推方程分析递归算法时间和空间复杂度。

递归跟踪

递归跟踪可用以分析递归算法的总体运行时间与空间。
分析原则：

1. 算法的每一递归实例都表示为一个方框，其中注明了该实例调用的参数
2. 若实例M调用实例N，则在M与N对应的方框之间添加一条有向联线
   

递推方程

输入规模较为有限使用递归跟踪以图形化形式表现较为直观。当输入规模较大时，使用另一常用分析方法，即递推方程。

该方法无需绘出具体的调用过程，而是通过对递归模式的数学归纳，导出复杂度定界函数的递推方程（组）及其边界条件，从而将复杂度的分析，转化为递归方程（组）的求解。

书上有个求解思路，原话为：
在总体思路上，该方法与微分方程法颇为相似：很多复杂函数的显式表示通常不易直接获得，但是它们的微分形式却往往遵循某些相对简洁的规律，通过求解描述这些规律的一组微分方程，即可最终导出原函数的显式表示。微分方程的解通常并不唯一，除非给定足够多的边界条件。类似地，为使复杂度定界函数的递推方程能够给出确定的解，也需要给定某些边界条件。这类边界条件往往可以通过对递归基的分析而获得。

sum()算法递归方程求解

我试着从微分方程角度解释求解过程

T(n) = T(n - 1) + O(1) = T(n - 1) + c1， 其中c1为常数
T(0) = O(1) = c2， 其中c2为常数
微分方程角度看
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{T(n)-T(n-1)}{n-(n-1)}$ = c1
即 $y^{\prime }$ = c1
y = c1x + c
因为 T(0) = O(1) = c2
所以 c = c2
即 y = c1x + c2
综上
T(n) = c1n + c2 = O(n)

空间复杂度

设采用该算法对长度为n的数组统计总和，所需空间量为S(n)
S(1) = O(1)
S(n) = S(n - 1) + O(1)
两式联合求解即得：
S(n) = O(n)

典型递推方程

3. 递归模式

多递归基

为保证有穷性，递归算法都必须设置递归基，且确保总能执行到。故同一算法的递归基可能（显式或隐式地）不止一个。
无论何种实现，均由如下reverse()函数作为统一的启动入口。

void reverse ( int*, int, int ); //重载的倒置算法原型
void reverse ( int* A, int n ) //数组倒置（算法的初始入口，调用的可能是reverse()的递归版或迭代版）
{ reverse ( A, 0, n - 1 ); } //由重载的入口启动递归或迭代算法

为得到整个数组的倒置，可以先对换其首、末元素，然后递归地倒置除这两个元素以外的部分。按照这一思路，通过递归跟踪可以证明，其时间复杂度为O(n)。

void reverse ( int* A, int lo, int hi ) { //数组倒置（多递归基递归版）
	if ( lo < hi ) {
		swap ( A[lo], A[hi] ); //交换A[lo]和A[hi]
		reverse ( A, lo + 1, hi - 1 ); //递归倒置A(lo, hi)
	} //else隐含了两种递归基 lo == hi lo > hi
} //O(hi - lo + 1)

算法复杂度

每递归深入一层，入口参数lo和hi之间的差距必然缩小2，因此递归深度（亦即时间复杂度）为：
(hi - lo) / 2 = n/2 = O(n)

多向递归

不仅递归基可能有多个，递归调用也可能有多种可供选择的分支。每一递归实例虽有多个可能的递归方向，但只能从中选择其一，故各层次上的递归实例依然构成一个线性次序关系，这种情况依然属于线性递归。
在数据结构（邓俊辉）学习笔记1-2—复杂度分析中求解幂函数$2^n$算法，复杂度是T( r) = O($2^r$)，这里使用递归实现。


我理解这样没计算一次，数据长度都会缩小一半

inline __int64 sqr ( __int64 a ) { return a * a; } //平方：若是连续执行，很快就会数值溢出！
__int64 power2 ( int n ) { //幂函数2^n算法（优化递归版），n >= 0
   if ( 0 == n ) return 1; //递归基；否则，视n的奇偶分别递归
   return ( n & 1 ) ? sqr ( power2 ( n >> 1 ) ) << 1 : sqr ( power2 ( n >> 1 ) );
} //O(logn) = O(r)，r为输入指数n的比特位数

power2()算法的递归跟踪过程，如图所示。类似地也可看出，每递归深入一层，入口参数n即缩小一半，因此递归深度（亦即时间复杂度）应为
$lo{g}_{2}n$ = O(logn)
将参数n所对应二进制展开的宽度记作r = logn，则由图看出，每递归深入一层，r都会减一，因此递归深度（亦即时间复杂度）应为：
O( r ) = O(logn)

复杂度由O（$2^r$）到O( r )

4. 递归消除

空间成本

递归算法所消耗的空间量主要取决于递归深度，故较之同一算法的迭代版，递归版往往需耗费更多空间，并进而影响实际的运行速度。引入一个结论

若每个递归实例仅需使用常数规模的空间，则递归算法所需的空间总量将线性正比于最大 的递归深度。

尾递归及其消除

在线性递归算法中，若递归调用在递归实例中恰好以最后一步操作的形式出现，则称作尾递归。属于尾递归形式的算法，均可以简捷地转换为等效的迭代版本。

reverse(A, lo, hi)算法为例

void reverse ( int* A, int lo, int hi ) { //数组倒置（规范整理之后的迭代版）
   while ( lo < hi ) //用while替换跳转标志和if，完全等效
      swap ( A[lo++], A[hi--] ); //交换A[lo]和A[hi]，收缩待倒置区间
} //O(hi - lo + 1)

尾递归的判断应依据对算法实际执行过程的分析，而不仅仅是算法外在的语法形式。比如，递归语句出现在代码体的最后一行，并不见得就是尾递归；严格地说，只有当该算法（除平凡递归基外）任一实例都终止于这一递归调用时，才属于尾递归。

5. 二分递归

分而治之

将问题分解为若干规模更小的子问题，再通过递归机制分别求解。这种分解持续进行，直到子问题规模缩减至平凡情况。这也就是所谓的分而治之策略。
通常都是将原问题一分为二，故称作“二分递归”。
无论是分解为两个还是更大常数个子问题，对算法总体的渐进复杂度并无实质影响。

数组求和

新算法的思路是：
以居中的元素为界将数组一分为二；递归地对子数组分别求和；最后，子数组之和相加即为原数
组的总和。

int sum ( int A[], int lo, int hi ) { //数组求和算法（二分递归版，入口为sum(A, 0, n - 1)）
	if ( lo == hi ) //如遇递归（区间长度已降至1），则
		return A[lo]; //直接返回该元素
	else { //否则（一般情况下lo < hi），则
		int mi = ( lo + hi ) >> 1; //以居中单元为界，将原区间一分为二
		return sum ( A, lo, mi ) + sum ( A, mi + 1, hi ); //递归对各子数组求和，然后合计
	}
} //O(hi - lo + 1)，线性正比于区间的长度

算法启动后经连续m = $lo{g}_{2}n$次递归调用，数组区间的长度从最初的n首次缩减至1，并到达
第一个递归基。

刚到达任一递归基时，已执行的递归调用总是比递归返回多m = log2n次。其实换句话理解，若到达递归基，则执行了参数n的二进制位数$m=log2n$次。
如上图，区间长度为8（$ln{g}_{2}8$ =3）当到达递归基时，调用堆栈看sum函数已经被调用3次。

到达区间长度为2^k的任一递归实例之前，已执行的递归调用总是比递归返回多m-k次。
如上图到达区间长度为2平方的实例，已执行的递归调用比返回多3-2=1次。

到达区间长度为2^k的任一递归实例之前，已执行的递归调用总是比递归返回多m-k次。

空间复杂度

鉴于每个递归实例仅需常数空间，故除数组本身所占的空间，该算法只需要O(m + 1) = O(logn)的附加空间。如上图所示区间长度为8，只需压栈3次。线性递归版sum()算法共需O(n)的附加空间，就这一点而言，新的二分递归版sum()算法有很大改进。

时间复杂度

与线性递归版sum()算法一样，此处每一递归实例中的非递归计算都只需要常数时间。递归实例共计2n - 1个，故新算法的运行时间为O(2n - 1) = O(n)，与线性递归版相同。

6 . 效率

当然，并非所有问题都适宜于采用分治策略。实际上除了递归，此类算法的计算消耗主要来自两个方面。首先是子问题划分，即把原问题分解为形式相同、规模更小的多个子问题。
为使分治策略真正有效，不仅必须保证以上两方面的计算都能高效地实现，还必须保证子问题之间相互独立（各子问题可独立求解，而无需借助其它子问题的原始数据或中间结果）。否则，或者子问题之间必须传递数据，或者子问题之间需要相互调用，无论如何都会导致时间和空间复杂度的无谓增加。

7. 算法设计优化总结

前n项计算算法