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今日鸡汤：Action may out always bring happiness;but there is no happiness without action.
行动不一定能带来快乐，但不行动一定不行
C++之路还很长
手撕AVL树
- 一 AVL树概念
- 二 模拟实现AVL树
- 2.1 AVL节点的定义
- 三 插入
- 更新平衡因子（重点）
- 四 旋转
- 1.左单旋
- 1.1 左单旋完整代码
- 2 右单旋
- 2.2 右单旋完整代码
- 3 双旋一（左+右）
- 3.2左右双旋完整代码
- 4 双旋二（右+左）
- 4.2 右左双旋完整代码
- 旋转总结
- 五 验证AVL树的正确性
一 AVL树概念
二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但是当数接近有序或者二叉搜索数接近单支树，查找的效率就相当于在顺序表中查找。所以为了解决这种极端环境，，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树的性质
- 他的左右子树都是AVL树
- 左右子树的高度差（平衡因子）的绝对值不超过1
注（以下代码中，平衡因子=|右子树高度-左子树高度|）
二 模拟实现AVL树
2.1 AVL节点的定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // balance factor
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
, _kv(kv)
{}
};
三 插入
我们这里AVL只写插入，插入就可以让我们很好的了解AVL的底层实现了。
AVL树也是二叉搜索树，只是在此基础上增加了平衡因子的调整。所以我们的插入就分成了两部分。
- 按照二叉搜索树的规则插入
- 更新平衡因子
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
这个就是我们前面已经说过的二叉搜索树的插入规则。现在我们重点看如何更新平衡因子。
更新平衡因子（重点）
平衡因子更新原则：
- cur插入在parent的左边 平衡因子减减
- cur插入在parent的右边 平衡因子加加
思考：插入节点后会影响哪些节点的平衡因子？
会影响新插入节点的部分祖先。
是否影响爷爷节点取决于parent的高度是否有变化
首先父亲节点一定会被影响，其次重点考虑的应该是爷爷节点所受的影响。这里比较抽象我们需要借助图像来把每一种可能写出来。
第一种更新后p->_bf0
这种就是更新之前p的高度为1or-1，新节点插入在了比较矮的那一端，左右平衡。
第二种更新后p->_bf1or-1
更新之前，p的高度平衡，cur插入在一侧，p不平衡了，这里p的高度变化爷爷节点也受到了影响，就需要向上更新。
第三种更新后p->_bf==2or-2
违反了AVL树的规则要进行旋转。
我们现在总结一下，什么情况下更新就结束了。
1.插入后父亲的平衡因子为0，更新结束
2.向上更新到，cur=root的位置时，更新结束
3.违反规则需要旋转，旋转之后，更新结束
//调整平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//情况一
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
//情况二
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
//情况三
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 旋转处理
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else
{
RotateRL(parent);
}
break;
}
//插入树之前这个树就不符合AVL树
else
{
// 插入之前AVL树就有问题
assert(false);
}
这部分代码还比较简单，下面就是本篇核心（旋转）
四 旋转
旋转的目的
- 保持搜索树规则
- 当先树由不平衡转变为平衡
- 降低树的高度
1.左单旋
根据上面的图我们写出下代码。
Node* subR=panret->_right;
Node* subRL=subR->_left;
parent->_right=subRl;
subRL->_parent=parent;
subR->_left=parent;
parent->_parent=subR;
这里还有几个细节问题需要注意
第一点：subRL可能为空，那subRL->_parent=parent;就会有问题。我们要加一个条件判断。
第二点：subR的父亲节点还没有被重新指向，这就会导致下图
我们就要先保存parent的父亲节点，这又有了一个新的问题，就是parent是不是根节点，所以左单旋的完整代码如下
1.1 左单旋完整代码
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
2 右单旋
右单旋就是左旋的变形，理解好左旋，右旋就很好理解了。
看图写出代码，再根据左旋的注意事项，补全代码的逻辑。
2.2 右单旋完整代码
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
3 双旋一（左+右）
注意看图，先对subL进行了左单旋，再对整棵树进行了右单旋。
注意：双旋对比单旋多了旋转结束之后平衡因子不是固定的，我们要风分情况把所有的可能性都写出来。
观察上图，我们发现subRL的平衡因子不同分别为：-1 1 0，这就是我们的解决方案。我们再画出旋转之后的图片。
分析完之后，就到了最简单的代码环节
3.2左右双旋完整代码
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
4 双旋二（右+左）
还是先画出一般图观察，对subR进行右旋，再对整体左旋。
下面的分析与上面的分析类似，我就把图片放在下面，供大家参考。
4.2 右左双旋完整代码
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
subRL->_bf = 0;
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
}
现在再去看上面的更新平衡因子的代码就比较清晰了。
旋转总结
左旋：新节点插入了较高右子树的右侧
右旋：新节点插入了较高左子树的左侧
双旋：
左+右：新节点插入了较高左子树的右侧
右+左：新节点插入了较高右子树的左侧
总之一句话：理解旋转我们一定要自己去画图，一定要自己动手，才会理解深刻。
五 验证AVL树的正确性
我们要写一个函数来判断这颗树符不符合AVL树。
bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{
if (root == nullptr)
{
height = 0;
return true;
}
int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)
|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
{
return false;
}
if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;
return false;
}
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
return true;
}
