前言

善始者繁多，克终者盖寡。

在某个评价体系中，计算指标重要性（或者称之为“权重”）的方法有基于经验的方法，例如层次分析法、德尔菲法，有基于统计学的方法，例如熵权法、离差最大化法，机器学习的发展为指标重要性的计算提供了新的思路。

已有大量的研究将神经网络算法应用于指标权重的计算上，最简单的就是三层结构的BP神经网络，但是使用神经网络算法时通常需要输入数据具备相同的量纲，也就是输入数据需要进行归一化处理，当然数据归一化益处多多，但此过程对异常数据极其敏感，可能导致数据分布改变，从而导致原始数据信息损失。而使用决策树则可以很好的避免数据归一化引起的系列问题，除必要的数据清洗外，通常情况下不需要对原始数据进行任何处理就可以应用决策树算法。从数据结构角度看，决策树算法就是构建一棵二叉树的过程，为了提高系统的准确率和泛化能力，通常在数据集中随机选择数据构建决策树，若干决策树组成了森林，于是就有了随机森林。

注意：并不是说神经网络和决策树谁好谁差，只不过是两种算法的应用场景有所差异，不知如何选择时可以在相同数据集上使用这两种方法，选择效果最佳的一种。

一、节点

为了交流方便，我们将存放数据的最小单位为“节点”，它至少包含两个信息：数据本身和数据的描述，一个节点可以描述为：

二、决策树

多个节点共同组成了一颗树，下图所示的都可以称之为“树”：

根据节点中最大分支个数我们给这些树取名字，例如图1和图2中的树我们称之为“三叉树”，图3中的树我们称之为“二叉树”，这个“二叉树”像极了帮我们做选择的助手，从第一个节点出发后要么走左边的节点，要么走右边的节点，于是我们称这样的结构为“决策树”。

2.1 案例分析——优良的水稻

假设我们可以通过“稻穗大小、稻杆长短、颜色程度”三个指标判断水稻是否为优良品种，优良品种的特征有“稻穗大、稻杆短、颜色金黄”三个特征，主要满足两个就属于优良品种，现已有三份水稻样品：

按照人的思维和习惯我们可以逐步划分，即得到如下的决策树，我们很容易判断上述表格中三份水稻样品的品质分别为“优良、其他、其他”。

本例中包含3个属性，所以决策树的深度为3（只看圆的，椭圆是判断结果），如果我们先判断“稻杆”或者“颜色”，我们便会得到一棵不同的决策树，但是不论如何选择决策树的最大深度都是3。值得注意的是本例中所有属性的取值都只有两个，但现实世界中的情况往往复杂的多。

2.2 案例分析——家庭财富水平

假设我们可以通过“月收入、汽车数量、房屋数量”三项指标评估某个家庭的财富水平，已知“月收入>=50000、汽车数量>=5、房屋数量>=5”三项条件中，满足两项及以上的家庭为“富有”，满足一项的家庭为“中等”，一项不满足的家庭为“贫困”，现已收集到三个家庭的数据：

我们同样可以构造一棵决策树，我们不难判断出上表三个家庭的财富水平分别为“富有、贫困、中等”。

本例中我们使用了连续型数据，发现虽然决策树的深度相同，但产生的结果比2.1复杂了许多，随着属性的增多、数据的增多，人工构造决策树的难度会大大提高。

三、随机森林

使用相同的数据可以生成不同的决策树，当数据集足够庞大时我们需要限制每一棵决策树的深度，以增强模型的泛化能力，这就使得每棵决策树产生了差异，随机森林就是考虑每一棵决策树的差异，以期提供最佳决策方案。

确定每棵决策树的深度、森林中决策树的数量是随机森林算法的关键。

三、Python代码实现

3.1 关键问题

3.1.1 节点的表示

一棵树中的节点应当包含如下信息：节点的描述、节点的数据、左子树、右子树。具体到一颗决策树中，这四项信息可以具体描述为：属性（何处对树分支）、阈值（划分左右子树的标准）、左子树（左子树的根节点）、右子树（右子树的根节点）。

3.1.2 决策树的表示

在一棵树中，只有我们知道了一个树的根节点，我们就可以遍历整棵树；为了防止过拟合以及节省系统资源，我们必须指定树的最大深度。

根据实际情况，我们需要解决的问题是：计算指标重要性。所有我们还需要知道属性的总个数。

那决策树的根节点在选择属性A和阈值x1划分后得到属性A取值全大于等于x1和属性A取值全小于x1的两部分数据，即left和right，那left根节点划分时会不会再次选择A属性进行划分呢？？？？
答案是完全有可能！ 所以，我们还需要一个变量用于存储 决策树中使用到的属性的个数。

** 根节点划分左右子树的依据 **

方差。本例中使用“方差”考量原系统的聚合程度、划分后系统的聚合程度 。理想状态下，随着决策树的划分，系统的聚合程度越来越高，即系统的方差越来越小，相似的样本被划分到一起，所有决策树最早是被用来解决分类问题。

3.1.3 随机森林的构造与重要性的表示

使用“出现频次”表示属性的重要性。

通过循环构建若干决策树，决策树的集合就构成了随机森林，随机森林中包含若干决策树，统计每棵决策树中各属性出现的频次，出现频次高的属性其重要性强，反之则弱。

3.2 节点类

节点的left、right属性存储的是左右子树的根节点。
在实际操作中我们使用“ 属性的索引 ”代替具体的属性名称，以方便程序操作。

# 决策树节点
class TreeNode:
    def __init__(self, feature_index=None, threshold=None, left=None, right=None):
        # 特征索引（在决策树按哪个特征进行分支）
        self.feature_index = feature_index
        # 阈值（在决策树中按某个特征的某个值划分左右子树）
        self.threshold = threshold
        # 左子树
        self.left:TreeNode = left
        # 右子树
        self.right:TreeNode = right

3.2 决策树类

3.2.1 初始化

class DecisionTreeRegressor:
    def __init__(self, max_depth=None,feature_numbers=None):
        # 指定决策树的最大深度
        self.max_depth = max_depth
        # 返回整棵决策树（也就是根节点，可通过根节点遍历整棵树）
        self.bootnode:TreeNode = None
        # 属性的总个数
        self.feature_numbers = np.zeros(feature_numbers)
        # 树中出现属性的个数
        self.available_feature_numbers = 0

3.2.2 计算方差

    # 计算数据集的方差（使用方差作为目标函数）
    def _calculate_variance(self, y):
        return np.var(y)

    # 计算划分后的两个数据集的加权方差（用来寻找最合适划分子树的方法，让方差最小）
    def _calculate_weighted_variance(self, left_y, right_y):
        n = len(left_y) + len(right_y)
        left_var = self._calculate_variance(left_y)
        right_var = self._calculate_variance(right_y)
        weighted_var = (len(left_y) / n) * left_var + (len(right_y) / n) * right_var
        return weighted_var

3.2.3 选择最佳划分特征和阈值

    # 选择最佳划分特征和阈值
    def _find_best_split(self, X, y):
        m, n = X.shape
        # 计算当前划分方法系统方差变化值（减少量），方差减少的越多越好
        best_var_reduction = 0
        best_feature_index = None
        best_threshold = None

        # 计算当前节点的方差
        current_var = self._calculate_variance(y)

        # 有n个特征值，要进行n次判断
        for feature_index in range(n):
            '''
               找到每一个特征值中的唯一值（返回值是一个列表）
               依次取出列表中的值作为阈值计算系统方差变化情况
            '''
            thresholds = np.unique(X[:, feature_index])
            for threshold in thresholds:
                '''
                    np.where方法返回的是元组对象
                    元组中包含了在feature_index特征上取值小于等于阈值的行索引，使用[0]取出
                '''
                left_indices = np.where(X[:, feature_index] <= threshold)[0]
                right_indices = np.where(X[:, feature_index] > threshold)[0]

                # 如果划分到最后，该节点无法划分出左子树或者右子树，说明该节点已经是叶子节点了，跳过
                if len(left_indices) == 0 or len(right_indices) == 0:
                    continue

                # 取出左右子树记录，为计算系统方差做准备
                left_y = y[left_indices]
                right_y = y[right_indices]

                # 计算加权方差的减少量
                var_reduction = current_var - self._calculate_weighted_variance(left_y, right_y)

                # 更新最佳划分（减少量越大越好，说明系统方差小）
                if var_reduction > best_var_reduction:
                    best_var_reduction = var_reduction
                    best_feature_index = feature_index
                    best_threshold = threshold

        return best_feature_index, best_threshold

3.2.4 构建决策树

    # 递归构建决策树
    def _build_tree(self, X, y, depth):
        if depth == self.max_depth or len(np.unique(y)) == 1:
            return TreeNode(None, None, None, None)

        # 找到划分的属性和阈值
        feature_index, threshold = self._find_best_split(X, y)
        if feature_index is None or threshold is None:
            return TreeNode(None, None, None, None)

        left_indices = np.where(X[:, feature_index] <= threshold)[0]
        right_indices = np.where(X[:, feature_index] > threshold)[0]

        left_child = self._build_tree(X[left_indices], y[left_indices], depth + 1)
        right_child = self._build_tree(X[right_indices], y[right_indices], depth + 1)

        return TreeNode(feature_index, threshold, left_child, right_child)

3.2.5 训练与预测

决策树的训练就是构建决策树的过程。
在决策树中通常采用均值表示某条记录的预测值。（计算指标重要性不需要使用预测方法）

    # 计算数据集的均值
    def _calculate_mean(self, y):
        return np.mean(y)
        
    # 训练决策树模型
    def fit(self, X, y):
        self.bootnode = self._build_tree(X, y, 0)

    # 预测单个样本
    def _predict_one(self, x, node):
        if node.feature_index is None or node.threshold is None:
            return self._calculate_mean(x)

        if x[node.feature_index] <= node.threshold:
            return self._predict_one(x, node.left)
        else:
            return self._predict_one(x, node.right)

    # 批量预测
    def predict(self, X):
        return np.array([self._predict_one(x, self.bootnode) for x in X])

3.2.6 计算指标重要性

    # 计算树中各特征值出现频次
    def _calculate_features(self,node:TreeNode):
        if node.feature_index is not None:
            self.feature_numbers[node.feature_index] += 1
            self.available_feature_numbers += 1

            self._calculate_features(node.left)
            self._calculate_features(node.right)

    # 将树中特征出现频次转换为特征重要性
    def calculate_importance(self):
        self._calculate_features(self.bootnode)
        return self.feature_numbers/self.available_feature_numbers

3.2.6 绘制决策树（调试方法）

像神经网络这样的模型，其结构是在创建之前就设定好了的，但决策树不同，在调试时可以打印出决策树中各节点信息，绘制决策树，以判断程序运行效果是否满足研究的需要。

    def show(self,node:TreeNode):
        list = ["根","左","右"]
        if node.feature_index is not None:
            print(list[0],node.feature_index)
            # print("->",end="")
            # print(node.threshold)
            if node.left is not None:
                print(list[1],"--", end="")
                self.show(node.left)
            else:
                print(list[1],"--None")

            if node.right is not None:
                print(list[2],"--", end="")
                self.show(node.right)
            else:
                print(list[2],"--None")
        else:
            print(list[0], "--None")

3.4 随机森林类

3.4.1 初始化

class RandomForestRegressor:
    def __init__(self, n_estimators=None, max_depth=None, max_features=None):
        # 若干棵决策树组成森林，树的数量
        self.n_estimators = n_estimators
        # 每一棵决策树具有相同的深度
        self.max_depth = max_depth
        # 每一棵决策树的特征综素相同
        self.max_features = max_features
        # 若干棵决策树组成的列表，就是我们需要的随机森林了
        self.trees = []

3.4.2 训练（构造）随机森林

    # 训练随机森林，也就是向列表中依次添加决策树
    def fit(self, X, y):
        for _ in range(self.n_estimators):
            # 随机选择数据子集和特征子集
            n_samples = X.shape[0]
            # 从样本中随机选择n_samples条记录，记录可重复
            bootstrap_indices = np.random.choice(n_samples, size=n_samples, replace=True)
            bootstrap_X = X[bootstrap_indices]
            bootstrap_y = y[bootstrap_indices]

            tree = DecisionTreeRegressor(max_depth=self.max_depth,feature_numbers=self.max_features)
            tree.fit(bootstrap_X, bootstrap_y)
            self.trees.append(tree)

3.4.3 获取特征重要性

特征重要性是在决策树类中计算的，在随机森林中只需要统计各决策树中特征重要性并求均值即可。

    # 获取特征重要性
    def feature_importances(self, X, y):
        n_features = X.shape[1]
        total_importances = np.zeros(n_features)
        # 计数，统计每一棵树中各特征值出现的频次，出现频次越多说明该特征越重要
        for one_tree in self.trees:
            importance = one_tree.calculate_importance()
            total_importances += importance
        # 计算n_estimators棵树中，各特征值的平均重要程度（还是通过出现频次表示）
        return total_importances / self.n_estimators

四、程序测试

4.1 测试代码

load_data_primal方法用于读取数据文件，文件中前3列为基本信息，最后以来为期望输出，其余10列为原始数据。

测试程序中构建了一个包含100棵树、每棵树最大深度为10、输入样本特征为10的随机森林。

def load_data_primal():
    df = pd.read_excel("data.xlsx")
    data_temp  = df.iloc[:,3:-1]
    label_temp = df["综合评分"]
    data = []
    label = []
    for i in range(df.shape[0]):
        data.append(data_temp.iloc[i].to_list())
        temp = []
        temp.append(label_temp[i])
        label.append(temp)
    data = np.array(data)
    label = np.array(label)
    return data,label

if __name__ == '__main__':
    # 生成示例数据集
    X, y = load_data_primal()
    # print(X)
    # print(y)

    # 构建随机森林模型
    rf = RandomForestRegressor(n_estimators=100, max_depth=10, max_features=10)
    rf.fit(X, y)
    #for one_tree in rf.trees:
    #    one_tree.show(one_tree.bootnode)

    # 获取特征重要性
    importances = rf.feature_importances(X, y)

    # 先使用argsort进行降序排序，再进行反转
    indices = np.argsort(importances)[::-1]

    # 打印特征重要性
    print("Feature ranking:")
    for f in range(X.shape[1]):
        print("%d. feature %d (%f)" % (f + 1, indices[f], importances[indices[f]]))

    # 可视化特征重要性
    plt.figure()
    plt.title("Feature importances")
    plt.bar(range(X.shape[1]), importances[indices], color="r", align="center")
    plt.xticks(range(X.shape[1]), indices)
    plt.xlim([-1, X.shape[1]])
    plt.show()

4.2 测试结果

本例中以“出现频次”作为判断特征重要性的依据，显示的是对频次处理后的结果。

五、完整代码

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# 决策树节点
class TreeNode:
    def __init__(self, feature_index=None, threshold=None, left=None, right=None):
        # 特征索引（在决策树按哪个特征进行分支）
        self.feature_index = feature_index
        # 阈值（在决策树中按某个特征的某个值划分左右子树）
        self.threshold = threshold
        # 左子树
        self.left:TreeNode = left
        # 右子树
        self.right:TreeNode = right

# 决策树模型（通过递归创建）
class DecisionTreeRegressor:
    def __init__(self, max_depth=None,feature_numbers=None):
        # 指定决策树的最大深度
        self.max_depth = max_depth
        # 返回整棵决策树（也就是根节点，可通过根节点遍历整棵树）
        self.bootnode:TreeNode = None
        # 属性的总个数
        self.feature_numbers = np.zeros(feature_numbers)
        # 树中出现属性的个数
        self.available_feature_numbers = 0

    # 计算数据集的方差（使用方差作为目标函数）
    def _calculate_variance(self, y):
        return np.var(y)

    # 计算数据集的均值
    def _calculate_mean(self, y):
        return np.mean(y)

    # 计算树中各特征值出现频次
    def _calculate_features(self,node:TreeNode):
        if node.feature_index is not None:
            self.feature_numbers[node.feature_index] += 1
            self.available_feature_numbers += 1

            self._calculate_features(node.left)
            self._calculate_features(node.right)

    # 将树中特征出现频次转换为特征重要性
    def calculate_importance(self):
        self._calculate_features(self.bootnode)
        return self.feature_numbers/self.available_feature_numbers

    # 计算划分后的两个数据集的加权方差（用来寻找最合适划分子树的方法，让方差最小）
    def _calculate_weighted_variance(self, left_y, right_y):
        n = len(left_y) + len(right_y)
        left_var = self._calculate_variance(left_y)
        right_var = self._calculate_variance(right_y)
        weighted_var = (len(left_y) / n) * left_var + (len(right_y) / n) * right_var
        return weighted_var

    # 选择最佳划分特征和阈值
    def _find_best_split(self, X, y):
        m, n = X.shape
        # 计算当前划分方法系统方差变化值（减少量），方差减少的越多越好
        best_var_reduction = 0
        best_feature_index = None
        best_threshold = None

        # 计算当前节点的方差
        current_var = self._calculate_variance(y)

        # 有n个特征值，要进行n次判断
        for feature_index in range(n):
            '''
               找到每一个特征值中的唯一值（返回值是一个列表）
               依次取出列表中的值作为阈值计算系统方差变化情况
            '''
            thresholds = np.unique(X[:, feature_index])
            for threshold in thresholds:
                '''
                    np.where方法返回的是元组对象
                    元组中包含了在feature_index特征上取值小于等于阈值的行索引，使用[0]取出
                '''
                left_indices = np.where(X[:, feature_index] <= threshold)[0]
                right_indices = np.where(X[:, feature_index] > threshold)[0]

                # 如果划分到最后，该节点无法划分出左子树或者右子树，说明该节点已经是叶子节点了，跳过
                if len(left_indices) == 0 or len(right_indices) == 0:
                    continue

                # 取出左右子树记录，为计算系统方差做准备
                left_y = y[left_indices]
                right_y = y[right_indices]

                # 计算加权方差的减少量
                var_reduction = current_var - self._calculate_weighted_variance(left_y, right_y)

                # 更新最佳划分（减少量越大越好，说明系统方差小）
                if var_reduction > best_var_reduction:
                    best_var_reduction = var_reduction
                    best_feature_index = feature_index
                    best_threshold = threshold

        return best_feature_index, best_threshold

    # 递归构建决策树
    def _build_tree(self, X, y, depth):
        if depth == self.max_depth or len(np.unique(y)) == 1:
            return TreeNode(None, None, None, None)

        # 找到划分的属性和阈值
        feature_index, threshold = self._find_best_split(X, y)
        if feature_index is None or threshold is None:
            return TreeNode(None, None, None, None)

        left_indices = np.where(X[:, feature_index] <= threshold)[0]
        right_indices = np.where(X[:, feature_index] > threshold)[0]

        left_child = self._build_tree(X[left_indices], y[left_indices], depth + 1)
        right_child = self._build_tree(X[right_indices], y[right_indices], depth + 1)

        return TreeNode(feature_index, threshold, left_child, right_child)

    # 训练决策树模型
    def fit(self, X, y):
        self.bootnode = self._build_tree(X, y, 0)

    # 预测单个样本
    def _predict_one(self, x, node):
        if node.feature_index is None or node.threshold is None:
            return self._calculate_mean(x)

        if x[node.feature_index] <= node.threshold:
            return self._predict_one(x, node.left)
        else:
            return self._predict_one(x, node.right)

    # 批量预测
    def predict(self, X):
        return np.array([self._predict_one(x, self.bootnode) for x in X])

    def show(self,node:TreeNode):
        list = ["根","左","右"]
        if node.feature_index is not None:
            print(list[0],node.feature_index)
            # print("->",end="")
            # print(node.threshold)
            if node.left is not None:
                print(list[1],"--", end="")
                self.show(node.left)
            else:
                print(list[1],"--None")

            if node.right is not None:
                print(list[2],"--", end="")
                self.show(node.right)
            else:
                print(list[2],"--None")
        else:
            print(list[0], "--None")

# 定义随机森林模型
class RandomForestRegressor:
    def __init__(self, n_estimators=None, max_depth=None, max_features=None):
        # 若干棵决策树组成森林，树的数量
        self.n_estimators = n_estimators
        # 每一棵决策树具有相同的深度
        self.max_depth = max_depth
        # 每一棵决策树的特征综素相同
        self.max_features = max_features
        # 若干棵决策树组成的列表，就是我们需要的随机森林了
        self.trees = []

    # 训练随机森林，也就是向列表中依次添加决策树
    def fit(self, X, y):
        for _ in range(self.n_estimators):
            # 随机选择数据子集和特征子集
            n_samples = X.shape[0]
            # 从样本中随机选择n_samples条记录，记录可重复
            bootstrap_indices = np.random.choice(n_samples, size=n_samples, replace=True)
            bootstrap_X = X[bootstrap_indices]
            bootstrap_y = y[bootstrap_indices]

            tree = DecisionTreeRegressor(max_depth=self.max_depth,feature_numbers=self.max_features)
            tree.fit(bootstrap_X, bootstrap_y)
            self.trees.append(tree)


    # 获取特征重要性
    def feature_importances(self, X, y):
        n_features = X.shape[1]
        total_importances = np.zeros(n_features)
        # 计数，统计每一棵树中各特征值出现的频次，出现频次越多说明该特征越重要
        for one_tree in self.trees:
            importance = one_tree.calculate_importance()
            total_importances += importance
        # 计算n_estimators棵树中，各特征值的平均重要程度（还是通过出现频次表示）
        return total_importances / self.n_estimators

def load_data_primal():
    df = pd.read_excel("数据汇总3（数据完整）_决策树用.xlsx")
    data_temp  = df.iloc[:,3:-1]
    label_temp = df["综合评分"]
    data = []
    label = []
    for i in range(df.shape[0]):
        data.append(data_temp.iloc[i].to_list())
        temp = []
        temp.append(label_temp[i])
        label.append(temp)
    data = np.array(data)
    label = np.array(label)
    return data,label

if __name__ == '__main__':
    # 生成示例数据集
    X, y = load_data_primal()
    # print(X)
    # print(y)

    # 构建随机森林模型
    rf = RandomForestRegressor(n_estimators=100, max_depth=10, max_features=10)
    rf.fit(X, y)
    # for one_tree in rf.trees:
    #     one_tree.show(one_tree.bootnode)

    # 获取特征重要性
    importances = rf.feature_importances(X, y)

    # 先使用argsort进行降序排序，再进行反转
    indices = np.argsort(importances)[::-1]

    # 打印特征重要性
    print("Feature ranking:")
    for f in range(X.shape[1]):
        print("%d. feature %d (%f)" % (f + 1, indices[f], importances[indices[f]]))

    # 可视化特征重要性
    plt.figure()
    plt.title("Feature importances")
    plt.bar(range(X.shape[1]), importances[indices], color="r", align="center")
    plt.xticks(range(X.shape[1]), indices)
    plt.xlim([-1, X.shape[1]])
    plt.show()