引理：考虑等边三角形123——

这个等边三角形的对称性可用(1),(12),(13),(23),(123),(132)表示，其中：

(1)表示这个等边三角形绕着其中心点旋转360°/720°/.../360°×n，得到的图形与原图形完全重合的旋转对称变换；

(12)表示这个等边三角形绕过点3、垂直于边12的对称轴翻转180°/540°/.../180°+360°×n，得到的图形与原图形相比，刚好点1与点2位置对调、其余不变的轴对称变换；

(13)表示这个等边三角形绕过点2、垂直于边13的对称轴翻转180°/540°/.../180°+360°×n，得到的图形与原图形相比，刚好点1与点3位置对调、其余不变的轴对称变换；

(23)表示这个等边三角形绕过点1、垂直于边23的对称轴翻转180°/540°/.../180°+360°×n，得到的图形与原图形相比，刚好点2与点3位置对调、其余不变的轴对称变换；

(123)表示这个等边三角形绕着其中心逆时针旋转120°/480°/.../120°+360°×n，得到的图形与原图形相比，点1移动到点2、点2移动到点3、点3移动到点1的旋转对称变换；

(132)表示这个等边三角形绕着其中心顺时针旋转120°/480°/.../120°+360°×n，得到的图形与原图形相比，点1移动到点3、点3移动到点2、点2移动到点1的旋转对称变换。

它们同时也是集合A = {1,2,3}上所有一一变换的全体，设S₃ = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么S₃关于变换的乘法（或者说“复合”）作成一个非交换群。

证：①(1)(12) = (12)(1) = (12)∈S₃，(1)(13) = (13)(1) = (13)∈S₃，(1)(23) = (23)(1) = (23)∈S₃，(1)(123) = (123)(1) = (123)∈S₃，(1)(132) = (132)(1) = (132)∈S₃，

(12)(13) = (123)∈S₃(按从右往左的顺序)，(13)(12) = (132)∈S₃，(12)(23) = (123)∈S₃，(23)(12) = (132)∈S₃，(12)(123) = (23)∈S₃，(123)(12) = (13)∈S₃，

……

按类似的方法不断进行下去，终可得对任意的a,b∈S₃，都有a o b∈S₃，因此满足群公理第一条的封闭性，且由上面的计算可知，并非所有的a,b∈S₃，都有a o b = b o a，因此o是不可交换的；

②由于任意的a∈S₃是一个一一变换，而一一变换的乘法（或者说“复合”）是适合结合律的，因此也满足群公理的第二条；

③在S₃中，任意的a∈S₃，都有(1)a = a，因此(1)就是S₃中的单位元，因此也满足了群公理的第四条；

④在S₃中，(1)(1) = (1)，因此(1)的逆元是它本身，(12)(12) = (13)(13) = (23)(23) = (1)，因此(12),(13),(23)的逆元都分别是它们自身，而(123)(132) = (1)，因此(123)与(132)互为逆元，因此S₃中的每一个元素都存在各自的逆元，所以也满足了群公理的第五条。

因此，由群的第二定义我们可知，S₃关于变换的乘法（或者说“复合”）作成一个非交换群，命题得证。

 

（待续……）