作者介绍：10年大厂数据\经营分析经验，现任大厂数据部门负责人。
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LeetCode解锁1000题: 打怪升级之旅
python数据分析可视化：企业实战案例
备注说明：方便大家阅读，统一使用python，带必要注释，公众号 数据分析螺丝钉 一起打怪升级

题目描述

给定一个整数 n，返回 n×n 棋盘上的 N 皇后问题的不同解决方案的数量。

每一种解法包含一个明确的 n×n 棋盘上的皇后放置方式，其中 'Q' 代表一个皇后，而 '.' 代表空位。每个皇后都必须满足不能与其他皇后在同一行、同一列或同一对角线上。

输入格式

• n：一个整数，表示棋盘的大小。

输出格式

• 返回所有独特的 n 皇后问题的解决方案数量。

示例

示例 1

输入: n = 4
输出: 2

示例 2

输入: n = 1
输出: 1

注意
LeetCode题目51 "N皇后"与题目52 "N皇后II"虽然都是基于经典的N皇后问题，但两者的主要区别在于输出的需求不同：

N皇后 (题目 51)

• 目标：找出所有可能的N皇后解决方案的具体棋盘布局。
• 输出：返回所有解决方案，每个解决方案都详细展示了皇后的具体摆放位置。每个解决方案是一个包含n个字符串的列表，每个字符串长度为n，表示棋盘的一行，其中’Q’表示皇后，'.'表示空位。
• 解法关注点：除了求解算法的有效性外，还需要关注如何构造并展示完整的棋盘布局。

N皇后 II (题目 52)

• 目标：仅计算N皇后问题的不同解决方案数量。
• 输出：返回解决方案的数量，而不是具体的棋盘布局。
• 解法关注点：主要关注于优化算法的效率以快速计算出解决方案的总数，而不需要构造棋盘的具体布局。
  解法对比
  尽管两个问题在解法上可能使用类似的技术（如回溯法），51题需要更多的空间和逻辑来存储和展示所有可能的棋盘配置，而52题则更注重于计数优化，可能会使用更加精简的数据结构（如位运算）来加速计数过程。

方法一：回溯算法

解题步骤

1. 初始化变量：创建一个用于存储当前行皇后位置的列表。
2. 定义回溯函数：递归定义函数以尝试每一行的每个位置。
3. 合法性检查：检查当前位置放置皇后是否合法，即检查列和两个方向的对角线。
4. 递归与计数：递归地放置下一个皇后，如果完成一种有效布局则增加计数。

完整的规范代码

def totalNQueens(n):
    """
    计算 n 皇后问题的解决方案总数
    :param n: int, 棋盘大小
    :return: int, 解决方案总数
    """
    def backtrack(row, diagonals, anti_diagonals, cols):
        if row == n:
            nonlocal count
            count += 1
            return
        
        for col in range(n):
            curr_diagonal = row - col
            curr_anti_diagonal = row + col
            
            if (col in cols or curr_diagonal in diagonals or curr_anti_diagonal in anti_diagonals):
                continue
            
            cols.add(col)
            diagonals.add(curr_diagonal)
            anti_diagonals.add(curr_anti_diagonal)
            
            backtrack(row + 1, diagonals, anti_diagonals, cols)
            
            cols.remove(col)
            diagonals.remove(curr_diagonal)
            anti_diagonals.remove(curr_anti_diagonal)

    count = 0
    backtrack(0, set(), set(), set())
    return count

# 示例调用
print(totalNQueens(4))  # 输出: 2

算法分析

• 时间复杂度：(O(n!))，尽管有剪枝，每层递归的选择数接近 n。
• 空间复杂度：(O(n))，递归栈深度加用于存储状态的空间。

方法二：位运算优化的回溯算法

解题步骤

1. 位运算优化：使用位运算代替集合操作，提高效率。
2. 定义位运算回溯函数：使用位掩码表示列和对角线的占用状态，通过位运算快速检查和修改状态。
3. 递归与计数：递归放置皇后，完成布局时增加解决方案计数。

完整的规范代码

def totalNQueens(n):
    """
    计算 n 皇后问题的解决方案总数，使用位运算进行优化
    :param n: int, 棋盘大小
    :return: int, 解决方案总数
    """
    def solve(row, hills, next_row, dales):
        if row == n:
            nonlocal count
            count += 1
            return
        
        free_columns = columns & ~(hills | next_row | dales)
        while free_columns:
            curr_column = -free_columns & free_columns
            solve(row + 

1, (hills | curr_column) << 1, next_row | curr_column, (dales | curr_column) >> 1)
            free_columns &= free_columns - 1

    columns = (1 << n) - 1
    count = 0
    solve(0, 0, 0, 0)
    return count

# 示例调用
print(totalNQueens(4))  # 输出: 2

算法分析

• 时间复杂度：(O(n!))，位运算显著提高了效率，但最坏情况下仍需尝试所有可能。
• 空间复杂度：(O(n))，递归深度决定了空间复杂度，虽然使用位运算减少了空间占用。

方法三：迭代回溯

解题步骤

1. 使用栈模拟递归：使用栈来模拟递归过程，避免函数调用的开销。
2. 迭代处理：在迭代中管理棋盘状态和递归变量，以模拟递归调用栈的行为。

完整的规范代码

def totalNQueens(n):
    """
    使用迭代回溯解决 n 皇后问题
    :param n: int, 棋盘大小
    :return: int, 解决方案总数
    """
    stack = [(0, 0, 0, 0)]  # (row, hills, next_row, dales)
    count = 0
    while stack:
        row, hills, next_row, dales = stack.pop()
        if row == n:
            count += 1
            continue
        
        free_columns = ((1 << n) - 1) & ~(hills | next_row | dales)
        while free_columns:
            curr_column = -free_columns & free_columns
            stack.append((row + 1, (hills | curr_column) << 1, next_row | curr_column, (dales | curr_column) >> 1))
            free_columns &= free_columns - 1
    return count

# 示例调用
print(totalNQueens(4))  # 输出: 2

算法分析

• 时间复杂度：(O(n!))，迭代的方式减少了递归调用开销，但仍然需要尝试所有可能的放置方式。
• 空间复杂度：(O(n))，虽然使用栈来模拟递归，但空间复杂度与递归方法相当。

不同算法的优劣势对比

特征	方法一: 回溯算法	方法二: 位运算优化回溯	方法三: 迭代回溯
时间复杂度	(O(n!))	(O(n!))	(O(n!))
空间复杂度	(O(n))	(O(n))	(O(n))
优势	- 易于理解和实现	- 空间效率高	- 避免递归调用开销
劣势	- 空间消耗较大	- 理解和实现较为复杂	- 状态维护较为复杂

应用示例

科学研究：
N皇后问题常用于算法研究和教学，特别是在探讨组合数学、算法优化、复杂度分析等领域。此问题的不同解决策略可用于教授递归、回溯及其优化。

算法竞赛：
在算法竞赛中，N皇后问题是经典问题，经常出现在各类比

赛和面试中，作为测试程序员解决复杂问题能力的一种方式。

通过以上方法和示例，可以深入理解和掌握N皇后问题的多种解决方案及其应用场景。这些技术不仅限于此问题，还可广泛应用于其他需要递归和回溯解决的问题中。