2020年统考真题

定义三元组$ (a,b,c)$ （ a,b,c 均为正数）的距离 $D=|a-b|+|b-c|+|c-a|$ 。给定 3个非空整数集合 S1 、 S2 和 S3 ，按升序分别存储在 3 个数组中。请设计一个尽可能高效的算法，让算并输出所有可能的三元组 (a,b,c) （其中 $a\in S1,b\in S2,c\in S3$）中的最小距离。例如 S 1 = { − 1 , 0 , 9 } S1=\{−1,0,9\} S1={−1,0,9} ， S 2 = { − 25 , − 10 , 10 , 11 } S2=\{−25,−10,10,11\} S2={−25,−10,10,11} ， S 3 = { 2 , 9 , 17 , 30 , 41 } S3=\{2,9,17,30,41\} S3={2,9,17,30,41} ，则最小距离为 2 ，相应的三元组为 $(9,10,9)$ 。要求：

1. 给出算法的基本设计思想。
2. 根据设计思想，采用C或C++语言描述算法，关键之处给出注释。
3. 说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。

设计思想

首先可以设想在一个数轴上，其有三个点分别为a,b,c（从小到大排序，如图）

那我们可以得到如下关系：
$$\begin{gathered} L_1=|a-b| \\ {L}_2=|c-b| \\ {L}_3=|c-a| \\ {L}_1+L_2+L_3=2|c-a|=2L_3 \end{gathered}$$
所以说，三元组中的距离只跟相距最大的两点有关！

所以说，我们想要获取到距离最短，那么改动b的位置是没有用的，甚至会让它距离更远（当b移动到$[a,c]$外面以后）

所以我们只能移动a和c

但是由题目可以知道，三个数组中的数据都是按升序排序的，那么这就成为我们优化时间复杂度的一个突破口

都是升序排序。。。。对应到上面那张图就是：所有点只能从左向右移动！

那么在这一限制条件下，我们向右移动c肯定不是一个明智的想法，因为这只会让距离越来越大

那么b不能移动，c也不能移动，那我们只能移动a了，其实想一想，移动a确实可能能让距离更短

其实这道题我们可以想象一下，我们现在有一根橡皮筋，那么距离其实就是固定了橡皮筋a，c以后橡皮筋的长度，而我们要做的就是找出什么时候橡皮筋最松

好，继续说

由于我们上面所说，我们只能向右移动a，但是也有可能a移动太过了，比如超过了b，或者甚至超过了c，那么我们可以给它重新标个号，从左到右重新标为a,b,c

所以说到最后，其实这就变成了一道贪心题，我们不断尝试向右移动最小的那个点，看看能否让距离变短，不能就继续

那我们对比一下暴力求解的算法？

暴力求解时，我们会先固定i,j,然后一个个尝试k（$i,j,k$是数组A，B，C的下标,$A[i],B[j],C[k]$是上面所说的变换的a,b,c），但是我们会发现，无论怎么尝试，都只有当$A[i]\le C[k]\le B[j]$时，才是当前状态（指当前固定好的i，j）的最小值，我们假设$A[i]\le C[m...n]\le B[j]$，那么m，n里面的比较是毫无意义的，因为我们知道它一定会是最小距离，而我们说了，我们是从左向右遍历序列的，所以我们很清楚，当k遍历到m时，再往后已经没有意义的，所以我们其实已经可以跳出循环了，当然，在固定i,k或者j,k时也是如此，所以我们不如使用三指针，让他们选一个最小的值，让其指针往右走，这才会造成真正我们需要的不同的状态，而不是那些越往后距离越大或者往后也没有变化的状态（这些状态是冗余的，没必要）

简而言之，只让最小的那个值往右走，这才会出现我们需要的尽可能小的状态！！！在这些状态中找最小值才是有效的！！！

最终的代码如下：

//p18 14
//求绝对值
#define MAX_INT 0x7fffffff;

int abs(int a){
    return a > 0 ? a : -a;
}

//a是否为最小值
bool isMin(int a,int b,int c){
    return a <= b && a <= c;
}

int findMinTrip(SqlList &L1,SqlList &L2,SqlList &L3){
    ElemType minTrap = MAX_INT;
    int i = 0,j = 0,k = 0;

    int len1 = L1.length,len2 = L2.length,len3  = L3.length;

    while (i<len1 && j < len2 && k<len3 && minTrap > 0)
    {
        int D = abs(L1.data[i] - L2.data[j]) + abs(L1.data[i] - L3.data[k]) + abs(L2.data[j] - L3.data[k]);


        minTrap = minTrap < D ? minTrap : D;

        if(isMin(L1.data[i],L2.data[j],L3.data[k])){
            i++;
        }
        else if(isMin(L2.data[j],L1.data[i],L3.data[k])){
            j++;
        }
        else if(isMin(L3.data[k],L1.data[i],L2.data[j])){
            k++;
        }
    }

    return minTrap;
        

}