【CTF-Crypto】数论基础-01

数论基础

【专题说明】本系列文章主要根据B站Up主Alice-Bob学习数论基础知识，通过该系列文章，你可以对一些网安信安考试内容有一定了解，同时对于CTF中密码学方向的赛题在数论部分有更深的理解，如有不当之处，师傅们及时批评指正！
【专题展望】该系列文章会持续更新，同时后面后选择一些相关考点的CTF赛题进行补充讲解记录，毕竟学到的知识用起来才是自己的嘛！

文章目录

数论基础
- 0导读
- 1-1 整除*
- 1-2 素数*
- 1-3 模运算*
- 1-4 最大公约数*
- 1-5 扩展欧几里得算法*
- 1-6 最小公倍数*
- 1-7 证明算术基本定理*
- 1-8 等价关系
- 1-9 同余*
- 1-10 乘法逆元
- 1-11 一次同余方程*
- 1-12 剩余类*
- 1-13 中国剩余定理
- 1-14 欧拉函数*
- 1-15 欧拉定理、费马小定理*

0导读

0不是自然数

抽象代数 => 主要研究代数结构就是离散数学中的群、环、域、格

标题带星号* 表示专业课程内容涉及

1-1 整除*

整除性（Divisibility）

性质：

解释：

:happy: 任何整数都是0的因子

:happy: 1是任何整数的因子

:happy: 这个地方存在一个争议就是b不能为0的问题注意一下就好

:happy: 如果b是a的因子，那么b也是-a的因子 -b也是a的因子人话就是因子关系与正负无关

性质：

注意：

消去律中c不能为0

比较重要的时线性性：

如果b是a和c的因子，对于所有整数都存在b是a和c线性组合后的因子

讲解一下如何证明：

对于整除的一些证明，一般都转化为等式如b | a <=> a = qb

定理：

将b设为1 直接得到第二部分结论

特别符号

课后练习：

证明：

b就是所有ai的和

1-2 素数*

Prime

定义：正整数n >=2 除了1和n以外，没有其他正整数整除n 此时n称为“素数”；否则n称为“合数"

ps: 1既不是素数，也不是合数

ps：若n为合数，则n = ab 1< a <n 1< b <n

引理2-1：任何大于1的整数必有素因子

理解：大于1的整数不是素数就是合数，对于素数，其本身就是自己的素因子，所以必然存在；难点在于合数，即说明合数（必然大于1）一定存在素因子

证明：存在必有，一般考虑反证法

既然上面可知任何合数都一定存在素因子，那么素因子的范围是多少

定理2-1：任何合数n都至少有一个不超过 $\sqrt n$ 的素因子

证明：存在至少，浓浓的反证味

应用：

判断n是否是素数：如果所有素数 $\sqrt n$ 都不能整除n，则n是素数（缩短穷举的范围仅对小整数适用在密码学中大素数效率非常低

举例：

定理2-2：算术基本定理

ps:

用法：下一个定理

定理2-3：欧几里得定理（Euclid’s Theorem）：素数有无穷多个

证明：反证法

1-3 模运算*

密码学中非常重要的一个运算，一定要理解其性质和运算方法

形式：

负数求模：

举个🌰：-13 mod 7 = 1

计算小窍门：-13 不断加7 直到为正数，正数是几，答案就是几

-13 + 7 = -6 + 7 = 1

归纳一下 2 * 7 -13 = 1

利用数轴法进行巧算：

当模数是4 则将0-3卷成一个钟表

-1 mod 4 = 3

-5 mod 4 = 3

性质：

举例：

应用：

每一步计算都可以模模数以化简中间结果

注意！最后一步一定要模5！

除法没有这样的性质

1-4 最大公约数*

定义：

解释：所有公因子整除d

即为d = q*公因子

ps：

此外gcd(0,0) = 0

举例：直接转化为正数

互素：

证明：

举例：

上面这个q1和q2就是互素的 gcd(q1, q2) = 1

那么已知两个数如何求最大公约数呢，欧几里得算法！也称为辗转相除法

欧几里得算法（Euclid’s algorithm)

不失一般性，设a >= b >= 0, 求gcd(a, b)

数学原理：

b = 0时，gcd(a, 0) = a (因为任何整数都是0的公因子)

b > 0时，gcd(a, b) = gcd(b, r) 其中关系为：a = qb + r （因为如果d是b和r的公因子则一定是a的公因子可提取）

举例

1-5 扩展欧几里得算法*

定理5-1 最大公约数表示定理：设a, b属于Z， d = gcd(a, b), 则存在s,t 属于Z 使得as + bt = d

翻译成人话就是整数a和b的因子和a和b一定存在线性关系

特别的，当a和b互素即gcd(a, b) = 1 则as + bt = 1

人话就是没什么区别只不过这里d = 1

推论：d | v <=> as + bt = v

解释：去回忆整除这里d是v的一个因子右边a和b的最大公因子是v 则d也是其因子

基于上述定理得到扩展的欧几里得算法也叫广义欧几里得算法

用途：计算as + bt = gcd(a, b) 中的s和t

既然是扩展欧几里得算法，那么一定跟欧几里得算法有关系啦

这里是求gcd(a, b) = rn

在应用欧几里得算法的过程中其实q是没有用的但是在扩展欧几里得中我们需要理由q

求法：先假设

然后利用归纳法进行证明推导

进一步

则s和t 就是sn和tn

应用：

计算：

第一步拆：100 / 35 = 2 … 30

第二步辗转相除 35 / 30 = 1 … 5

第三步 30 / 5 = 6 … 0 余数为0 停止被除数为结果

最终直接结束

在python中存在该函数库直接调用

g,s,t = gmpy2.gcdext(e1,e2)

1-6 最小公倍数*

先解释一下什么是公倍数：

a和b都是整数，如果m（整数）分别是a和b的倍数，则m是a和b的公倍数可以为负哦~

然后是最小公倍数：

推论：

设m = lcm(a, b) 如果a | c, b | c, 则 m | c
若gcd(a, b) = 1 => lcm(a, b) = ab 举例 3和5 最小公倍数就是15

计算公式：lcm(a, b) = ab / gcd(a, b)

上面这个用到了一些乘乘除除但是我们知道在计算机中乘法效率较慢，所以尝试使用加法求解lcm

原理：两数中小的加自己，然后进行比较，直到两边相等

举例：

1-7 证明算术基本定理*

算数基本定理：任何非零整数n，可以表示成下面的乘积形式

证明存在性：

证明唯一性：

首先引入一个小定理：

设p是素数，a和b是整数，则p | ab => p | a 或 p | b

翻译成人话，因为p是素数，所以如果p是a乘b的因子则p是a或b的因子

推论：设p是素数，

举例：

唯一性证明：

1-8 等价关系

两个关联点：集合、二元关系

主要涉及三种关系：自反性、对称性、传递性

举例1：

人话：

3=3
3=3 => 3=3
3=3 3=3 => 3=3

举例2：

人话：

三角形与自身全等
三角形A与三角形B全等则三角形B也与三角形A全等
三角形A和B全等 B和C全等则三角形A和C全等

举例3：

反例1：

反例2：

给出正式定义：（集合的表示方法）

抽象表示：（类似二元运算的表示方法）

1-9 同余*

基本概念：

注意一下含义：同余之所以叫同余关系，是因为其表示的是一种关系而不是运算

区分：

正式定义：

解释说明：

因为（a - b）整除n 所以r1-r2必然为0 即r1 = r2 则表示同余

性质：

证明：对b的式子进行变形然后带入到a中

稍微一变形：a - b = qn 你想到了什么，正是上面的n | (a - b)

一点说明：同余是一种等价关系，如果忘记了等价关系看上一章，那么等价关系具有的一切性质，同余也都具有

运算性质：

因为同余，所以加减乘三种运算和整数中没有任何区别

对自身的操作：

两式之间的操作

注意嗷！必须是同余！！上面这两个式子就是对mod 6同余

1-10 乘法逆元

乘法逆元说的就是我们上面同余式中的除法运算，相比于普通整数中的除法还是有一点点区别滴

引入，先来一个普通乘法：

加入同余：

打起精神：这里的操作都是可以的！by the way 这不是最终答案！

因为在模运算下最终的结果一定是一个整数，也就意味着 $2^{-1}$ 是一个整数显然是有点问题的所以需要转化为一个整数下面继续看乘法逆元看一下在mod 5的情况下 $2^{-1}$ 能转化为哪个整数

在乘法逆元中：

先回顾一下倒数的概念：两个数的乘积为1，就称这两个数互为倒数

那么在同余中就是两数相乘取余的结果为1 就乘为倒数

那么上面中 $2^{-1}$ 表示2在模5下的倒数
$\times 3~mod~5 = 1$
故转化为3

举例：相同的数在不同的模数下其乘法逆元也不同

在计算过程中，我们通过第一个例子也可以看出很多其实仍然继承了幂运算中的性质只有在-1次方表示倒数的时候用到了mod的数值

定义：

注意点：

模n下互为乘法逆元，一般只考虑比n小的
模n内的乘法逆元是唯一的
by the way 有的时候整数会以自身为乘法逆元比如1 模任何下都是1本身再比如4 mod 5 4就是4本身的乘法逆元
乘法逆元的存在条件：！！！！！！

举例在mod 4下 2没有逆元所以条件为整数和模数必须互素

证明：在最后d | 1 则表明d=1 但是我们假设d不等1 而是大于1

乘法逆元的求法！蛮重要的，可以设个考点：

既然得知s就是模n下的逆元，所以调用一下扩展欧几里得算法一计算返回的s 就是答案

1-11 一次同余方程*

在上面了解了乘法逆元之后，我们就可以在同余的情况下进行解方程啦

原理引入：

没有模数下的为一次方程非常普通，下面给这个方程加点料，加一个模数

到此引出一次同余方程的样子，加减乘都好办，就是除法比较特殊，下面先给出一点小demo

首先看一个典型错误：

可以发现最后3和1在模6下同余，但这个根本是错的，那我们把后面的式子展开一下，找一找问题出在哪

问题就在我们没有对mod 6同时做除法，即为：

这里需要观察，我们上面的那个之所以需要对模数进行除法，因为3和6不互素即gcd(3,6)=3

如果需要除的数和模数互素，则不需要对模数进行操作，如下：因为此时乘法逆元存在

再来个例子：

首先105和63有最大公因数21 但是不能直接除21 因为gcd（21,6） = 3 需要对模数操作

分两步走，21->3,7 因为gcd(3,6)=3 所以不能直接除3 而应该对模数也操作

对于7 gcd（7,2）=1 互素，所以模数没有影响

但两步走有些麻烦啊，怎么化简一下嘞：

因为gcd(105,63)=21

所以直接除21 对于模数的操作为除21和6的最大公因数 gcd(21,6)=3

到此引出消去律

到此开头的一次同余方程可解

解释一下最后几步，3/5 相当于3乘5在模2下的逆元即考虑谁乘5mod2 =1 即答案一定小于模数故为1

即x与3mod2同余进一步处理将答案放到模数下即x与1mod2同余

最终答案只有1吗绝对不是！而是一个剩余类 1 + 2k都可以！通式如下：

解后拓展：观察方程

模数缩小了三倍在解集中0-5 6个数之间解的个数也为3，这也是规律嗷！

看一个无解的式子

下一步2要除过去了但是gcd（2,6）= 2 两数不互素需要对模数处理

即为 x = 3/2 (mod 6/2) 即为 x = 3/2(mod 3)

这个时候处理分数就是乘2在模3下的逆元谁乘2 模3 = 1嘞 2本身！？？？？？？？？我这个存疑不理解哪错了

解释：不符合消去律因为3里面没有2的因子

官方推理：因为gcd（2,6）=2 但是不存在2 | 3 故无解

在上面这个中 gcd（5,2）=1 互素所以1 | 3始终成立所以有解

有解的条件

1-12 剩余类*

前面的等价关系中有=> 等价类

现在的同余关系中有=> 剩余类

来个小栗子：

推广：

对比：

其实对比上面两个定义我们可以发现剩余类就是一种等价类

等价类的性质同样适用于剩余类的定义：

剩余类的记法：

如果该剩余类的余数为0 则即为[0]

代表元：剩余类中的每一个元素都是这个剩余类的代表元

剩余类集合：

注意上面这个剩余类集合，可以定义两种运算加法和乘法：

举例：

既然有乘法，那必然要考虑一下乘法逆元的问题

本质不变，只是形式略微有点变化

把这些存在逆元的剩余类放到一个新集合中

注意啊若a=0 gcd(0,n)=n 因为0是任何整数的因子所以最大公因子就是n本身

两者关系：

合数时表示真子集

最后来一个符号简化表示

给个demo

一定注意最后的a和1都是剩余类而不是整数

1-13 中国剩余定理

上一节学会了求解一次同余方程

但是我们小学学完方程学的是什么，正是方程组

所以下面我们通过中国剩余定理CRT（Chinese remainder theorem）去求解一次同余方程组

先看看一次同余方程组的样子吧：

注意前提条件：模数必须两类互素

在CRT中告诉我们上面这个式子必有解

下面重点介绍如何使用CRT进行计算：

首先对每个n进行操作：

这个很好理解啊，因为n1*中去掉了n1本身然后其他的都两两互素所以n1*和n1一定也互素嘞

既然都互素，则存在一定存在乘法逆元，都记为t

把这个式子汇总一下为：

之所以第二个为0 是因为ni*中没有ni 但是有nj 所以模为0

此时就可以得到方程组的一个解了注意这个解就是x 只不过我们先用a表示不过那些ai 却是式子中的a1 - am

此时去思考一个点哈：

那就是a模ni 得到的余数就是ai，原因在于因为e的原因当模ni的时候，存在ni的都会为0 所以此时只剩下eiai 然后又因为ei与1模ni同余所以最终只有ai

OK 最后收尾总结：里面的ni*-1 是ni*在模ni下的乘法逆元也就是上面的ti 一回事别慌

在模1以内有唯一的解，即a mod n

下面给出应用实例：

解题：a1 = 2 a2 = 3 a3 = 2 n1 = 3 n2 = 5 n3 = 7
$3\times5\times7=105 \\ n_1^* = n / n1 = 35~~~~逆元：35在模3的逆元为2 \\ n_2^* = n / n2 = 21~~~~逆元：21在模5的逆元为1 \\ n_3^* = n / n3 = 15~~~~逆元：15在模7的逆元为1 \\ a=35\times2\times2+21\times3\times1+15\times2\times1 =233 \\最终答案a~mod~n = 233~mod~105=23$