勒让德多项式简介

Legendre多项式是一种非常重要的正交多项式，在物理学中有着广泛的应用，例如点电荷在空间中的激发电势就具备勒让德多项式的形式。其表达形式为

$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}\{(x^2-1{)}^n\}$$

其中$n$为勒让德多项式的阶数，在Python中，提供了Legendre类，构造函数为

legendre.Legendre(coef, domain=None, window=None, symbol='x')

其中coef为系数列表$a_0,a_1,\cdots ,a_n$，表示生成

$$\sum _{i=0}^n{a}_i{P}_i(x)$$

domain表示$x$的定义域，window表示缩放系数，x为自变量符号。

from numpy.polynomial.legendre import Legendre
p3 = Legendre(coef=[4,3,2,1])
print(p3)
# 输出为4.0 + 3.0 P_1(x) + 2.0 P_2(x) + 1.0 P_3(x)

为了对勒让德多项式有个直观的认识，可以绘制一下不同阶数的勒让德多项式的函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
for i in range(5):
    c = np.zeros(i+1)
    c[i] = 1
    p = Legendre(coef=c, domain=(-5,5))
    xs, ys = p.linspace()
    plt.plot(xs, ys, label=str(i))

plt.legend()
plt.show()

其中linspace表示在定义域范围内对多项式进行采样，有一个参数n，表示在定义域范围内等间隔生成n组$x,y$，默认为100。

得图如下

求导和积分

Legendre支持简单的符号计算，比如可通过deriv(n)求多项式的n阶导数；通过integ(n)可求n阶积分，示例如下

>>> p3.deriv(1)
Legendre([4., 6., 5.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p3.deriv(3)
Legendre([15.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p3.integ(1)
Legendre([0.375     , 3.6       , 0.85714286, 0.4       , 0.14285714], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

勒让德多项式满足导数递推公式

$$(2n+1)P_n=P_{n+1}^{\prime }-P_n^{\prime }{P}_1^{\prime }=1$$

则$P_2^{\prime }=(2+1)P_1+P_1^{\prime }=3P_1+1$，则常数项为一阶项的3加上二阶项的1，即4。

求根和反演

roots可用于求根，而fromroot可根据根来生成Hermite多项式

>>> rs = p3.roots()
>>> print(rs)
[-1.38964076+0.j          0.09482038-0.92441421j  0.09482038+0.92441421j]
>>> pNew = p3.fromroots(rs)
>>> print(pNew)
(1.5999999999999992+0j) + (1.1999999999999982+0j) P_1(x) +
(0.7999999999999996+0j) P_2(x) + (0.4+0j) P_3(x)

可以发现roots和fromroots并非对称的关系。

拟合

Legendre类中同样提供了拟合函数fit，定义为

Legendre.fit(x, y, deg, domain=None, rcond=None, full=False, w=None, window=None, symbol='x')

其中domain, window, symbol不必赘述，其中x,y为待拟合多项式；deg为多项式的阶数。rcond表示截止误差。full为False时，只返回拟合系数，否则还返回拟合的标准差等。

>>> xs, ys = p3.linspace()
>>> p3 = Legendre(coef=[4,3,2,1])
>>> xs, ys = p3.linspace()
>>> p3_3 = p3.fit(xs, ys, 3)
>>> print(p3_3)
3.999999999999999 + 3.0000000000000013 P_1(x) +
2.0000000000000027 P_2(x) + 1.0000000000000018 P_3(x)
>>> p3_4 = p3.fit(xs, ys, 4)
>>> print(p3_4)
3.9999999999999987 + 2.9999999999999996 P_1(x) +
2.000000000000007 P_2(x) + 1.000000000000004 P_3(x) -
1.2341811704615316e-14 P_4(x)

可见其拟合效果还是不错的。

degree返回多项式的最高项次数，cutdeg可以对多项式的次数做阶段，例如

>>> p3.degree()
3
>>> p3.cutdeg(2)
Legendre([4., 3., 2.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])