【Leetcode每日一题】 动态规划 - 下降路径最小和(难度⭐⭐)(55)

news2024/11/14 14:23:33

1. 题目解析

题目链接:931. 下降路径最小和

这个问题的理解其实相当简单,只需看一下示例,基本就能明白其含义了.

2.算法原理

对于这类路径类问题,通常我们首先需要分析状态表示以及状态转移的过程。特别地,本题涉及的是路径上的最小值累加,因此状态转移方程的设计尤为重要。

  1. 状态表示
    • 我们选择的状态表示方式为:dp[i][j] 代表到达位置 [i, j] 时,所有下降路径中的最小和。这种定义方式有助于我们后续的状态转移和结果求解。
  2. 状态转移方程
    • 对于位置 [i, j],根据题目要求,我们可以从上方、左上方或右上方三个方向转移而来。我们需要找到这三个方向中的最小值,并加上当前位置 [i, j] 的值,从而得到到达该位置的最小路径和。
    • 因此,状态转移方程为:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j]
  3. 初始化
    • 为了简化计算,我们可以在矩阵的上方额外添加一行辅助结点,并将其值初始化为0。这样做的好处在于,当我们计算第一行时,可以直接引用这些辅助结点的值,而无需进行额外的判断。
    • 同时,考虑到状态转移时可能需要访问到 [i, j - 1] 和 [i, j + 1] 这样的位置,我们可能需要在矩阵的两侧也额外添加列,并初始化这些列的值。
    • 通常情况下,这些辅助结点的值需要保证后续填表过程的正确性。在本题中,由于我们关心的是路径上的最小值累加,因此将辅助结点的值初始化为0是合理的。
  4. 填表顺序
    • 根据状态表示和状态转移方程,我们可以确定填表的顺序是从上往下逐行计算。这样做的原因是,在计算当前行的某个位置时,我们只需要依赖上一行的数据,这符合动态规划的自底向上思想。
  5. 返回值
    • 题目要求的是只要到达最后一行即可,因此我们的目标是找到最后一行中的最小值。这可以通过遍历最后一行并比较各个位置的值来实现。
    • 最终返回的是这个最小值,而不是 dp[m][n] 的值,因为 dp[m][n] 只表示到达特定位置 [m, n] 的最小路径和,而题目要求的是到达最后一行任意位置的最小路径和。

3.代码编写

class Solution 
{
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
        for(int j = 0; j < n + 2; j++) dp[0][j] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
            }
        }
        int ret = INT_MAX;
        for(int i = 1; i <= n; i++) ret = min(ret, dp[n][i]);
        return ret;
    }
};

The Last

嗯,就是这样啦,文章到这里就结束啦,真心感谢你花时间来读。

觉得有点收获的话,不妨给我点个吧!

如果发现文章有啥漏洞或错误的地方,欢迎私信我或者在评论里提醒一声~

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