数据结构（六）----串

1.串的定义

2.串的基本操作

3.串的存储结构

(1)串的定义

•顺序存储

•链式存储

(2)求串长

(3)求子串

(4)比较串的大小

(5)定位操作

4.字符串的模式匹配

(1)朴素模式匹配算法

(2)KMP算法

•求模式串中的next数组（重点）

•练习：

(3)KMP算法的进一步优化

•求nextval数组的方法（重点）

1.串的定义

串，即字符串（String）是由零个或多个字符组成的有限序列。一般记为 S=' $a_{1}a2_{2}.....a_{n}$ '。其中，S是串名，单引号括起来的字符序列是串的值（有的地方用双引号(如Java,C)，有的地方用单引号(如Python)）；ai可以是字母、数字或其他字符；串中字符的个数n称为串的长度。n=0时的串称为空串(用 $\phi$ 表示)。

几个专业术语：

子串：串中任意个连续的字符组成的子序列（空串也是字符串的子串）。

主串：包含子串的串。

字符在主串中的位置：字符在串中的序号（从1开始）。

子串在主串中的位置：子串的第一个字符在主串中的位置（从1开始）。

空串与空格串：

空串：单引号之间没有任何字符，如下面的M。

空格串：有多个空格字符组成的字符串，每个空格字符占1B，如下面的N。

是一种特殊的线性表，数据元素之间呈线性关系。线性表中存放的数据对象可以是各种类型的，但是串的数据对象限定为字符集(如中文字符、英文字符、数字字符、标点字符等)，串的基本操作，如增删改查等通常以子串（多个数据对象）为操作对象。

2.串的基本操作

StrAssign(&T,chars)：赋值操作。把串T赋值为chars。

StrCopy(&T,S)：复制操作。由串S复制得到串T。

StrEmpty(S)：判空操作。若S为空串，则返回TRUE，否则返回FALSE

StrLength(S)：求串长。返回串S的元素个数。

ClearString(&S)：清空操作。将S清为空串。

DestroyString(&S)：销毁串。将串S销毁(回收存储空间)。

Concat(&T,S1,S2)：串联接。用T返回由S1和S2联接而成的新串

SubString(&Sub,S,pos,len)：求子串。用Sub返回串S的第pos个字符起长度为len的子串。

Index(S,T)：定位操作。若主串S中存在与串T值相同的子串，则返回它在主串S中第一次出现的位置；否则函数值为0。

StrCompare(S,T)：比较操作。若S>T，则返回值>0；若S=T，则返回值=0；若S<T，则返回值<0。

比较规则：

计算机只能存储二进制数，需要确定一个编码的规则，使得各个字符与二进制数能够一一对应起来，比较字符就是在比较二进制数的大小，例如'a'的Ascll码是97，对应的二进制就是

0110 0001，'A'的Ascll码是65，对应的二进制为0100 0001。

Ascll码表可以看：ASCII 表 | 菜鸟教程 (runoob.com)

Ascll字符集只是英文字符的集合。但是，除了英文字符外，还有很多其他字符(例如：中文，法语等)，Ascll字符集中无法包含所有的字符，因为Ascll字符集中，每个字符占用的空间为1B(8bit的二进制数)，只能表示2的8次方，即256个状态。

所以出现了其他字符集，如Unicode字符集，包含了中英文字符的集合。这些字符通过一个编码方案映射为二进制数（一个字符集可以有多个编码方案，例如UTF-8和UTF-16就是两种不同的Unicode编码方案）。

注：采用不同的编码方式，每个字符所占空间不同，考研中只需默认每个字符占1B即可。

1.从第一个字符开始往后依次对比，先出现更大字符的串就更大。

2.长串的前缀与短串相同时，长串更大。

3.只有两个串完全相同时，才相等。

3.串的存储结构

(1)串的定义

•顺序存储

//定长顺序存储
#define MAXLEN 255    //预定义最大串长为255
typedef struct{
    char ch[MAXLEN];    //每个分量存储一个字符
    int length;    //串的实际长度
}SString;

//堆分配存储(用malloc函数申请的内存空间属于内存的堆区)
typedef struct{
    char *ch;    //按串长分配存储区，ch指向串的基地址
    int length;    //串的长度
}HString;

HString S;
S.ch=(char *)malloc(MAXLEN * sizeof(char));
S.length=0;

//由malloc申请的内存空间需要手动free回收,而用静态数组申请的空间是由系统自动回收的。

顺序存储的实现：

在方案一中，专门声明一个int型变量length表示字符串的长度。

在方案二中，若用ch[0]来存储字符串的长度，那么字符的位序和数组下标相同。但是一个字符只占8bit，其所能表示的数字范围为0~255。

在方案三中没有Length变量，以字符’\0'表示结尾（对应ASCIl码的 0)，采用这种方式，若想知道字符串的长度，需要从头到尾扫描，扫描到‘\0’才能得到字符串的长度。若经常访问字符串的长度，那么这种方案就是不太可取的。

方案四中采用了方案1与方案2的结合，即舍弃ch[0]不用，并且专门声明一个int型的变量length表示字符串的长度。下面顺序存储的代码编写都是以方案四为存储结构的。

•链式存储

typedef struct StringNode{
    char ch;    //每个结点存1个字符
    struct StringNode * next;
}StringNode,* String;

一个char的大小为1B，但是在32位计算机中，指针大小为4B，这就表示我们在存储一个字符时，只用了1B存储实际需要存储的信息，用了4B存储了辅助信息。这样存储密度就太低了。

如何解决？

typedef struct StringNode{
    char ch[4];    //每个结点存多个字符
    struct StringNode * next;
}StringNode,* String;

注：若最后一个结点的字符存不满，那么可以用一些特殊的字符填充进去，如'#'或'\0'。

(2)求串长

int StringLength(SString S){
    return S.length;
}

(3)求子串

SubString(&Sub,S,pos,len)：求子串。用Sub返回串S的第pos个字符起长度为len的子串。

bool SubString(String &Sub,SString S,int pos,int len){
    if(pos+len-1>S.length)
        return false;    //子串范围越界
    for(int i=pos;i<pos+len;i++)
        Sub.ch[i-pos+1]=S.ch[i];
    Sub.length=len;
    return true;

}

(4)比较串的大小

StrCompare(S,T)：比较操作。若S>T，则返回值>0；若S=T，则返回值=0；若S<T，则返回值<0。

int StrCompare(SString S,SString T){
    for(int i=1;i<=S.length && i<T.length;i++){
        if(S.ch[i]!=T.ch[i])
            return S.ch[i]-T.ch[i]; 
    }
    //扫描过的所有字符都相同，则长度长的串更大
    return S.length-T.length;
}

(5)定位操作

Index(S,T)：定位操作。若主串S中存在与串T值相同的子串，则返回它在主串s中第一次出现的
位置；否则函数值为0。

int StringLength(SString S){
    return S.length;
}

bool SubString(String &Sub,SString S,int pos,int len){
    if(pos+len-1>S.length)
        return false;    //子串范围越界
    for(int i=pos;i<pos+len;i++)
        Sub.ch[i-pos+1]=S.ch[i];
    Sub.length=len;
    return true;
}

int StrCompare(SString S,SString T){
    for(int i=1;i<=S.length && i<T.length;i++){
        if(S.ch[i]!=T.ch[i])
            return S.ch[i]-T.ch[i]; 
    }
    //扫描过的所有字符都相同，则长度长的串更大
    return S.length-T.length;
}

int Index(SString S,SString T){
    int i=1,n=StrLength(S),m=StrLength(T);
    SString sub;    //用于暂存子串
    while(i<=n-m+1){
        SubString(sub,S,i,m);
        if(StrCompare(sub,T)!=0)    ++i;
        else return i;    //返回子串在主串中的位置
    }
    return 0;    //S中不存在与T相等的子串 
}

4.字符串的模式匹配

字符串模式匹配就是在主串(被查找串)中找到与模式串（想要查找的字符串）相同的子串，并返回其所在位置。

子串：主串的一部分，一定存在

模式串：不一定在主串中找到

(1)朴素模式匹配算法

若主串长度为n，模式串长度为 m，将主串中所有长度为m的子串依次与模式串对比，直到找到一个完全匹配的子串或所有的子串都不匹配为止。

长度为n的主串中，最多有n-m+1个子串

上面说的定位操作，即Index(S,T)，就是一种朴素模式匹配算法：

int Index(SString S,SString T){
    int i=1,n=StrLength(S),m=StrLength(T);
    SString sub;    //用于暂存子串
    while(i<=n-m+1){
        SubString(sub,S,i,m);
        if(StrCompare(sub,T)!=0)    ++i;
        else return i;    //返回子串在主串中的位置
    }
    return 0;    //S中不存在与T相等的子串 
}

也可以直接通过数组下标实现朴素模式匹配算法：

设置两个扫描指针i，j，将两个指针指向的字符依次对比，若指针指向的字符相同，就将指针一起后移。

若匹配失败，如上图所示，则主串指针 i 指向下一个子串的第一个位置，模式串指针 j 回到模式串的第一个位置。

只需要改变i，j指针的指向，就可以完成以上操作。

i=i-j+2;    //i-(j-1)相当于i回到开始的位置,再加1就是下一个字符串
j=1;    //j-(j-1)就相当于回到了1

在下一个串中匹配失败，i-j+2 指向下一个串，j继续重新指回1

若j>T.length（j指向的位置超出了模式串的长度），则当前子串匹配成功，返回当前子串第一个字符的位置 ---- i-T.length

int Index(SString S,SString T){
    int i=1,j=1;
    while(i<=S.length && j<=T.length){
        if(S.ch[i]==T.ch[i]){
            ++i;++j;    //继续比较后继字符
        }
        else{
            i=i-j+2;
            j=1;    //指针回退重新开始匹配
        }
    }
    if(j>T.length)
        return i-T.length;
    else
        return 0;
}

设主串长度为n，模式串长度为m，那么最坏时间复杂度=O(nm)

若主串和模式串如下图所示，最坏的情况，每个子串都要对比 m 个字符，共 n-m+1 个子串，复杂度=O((n-m+1)m) = O(nm-m^2+m) = O(nm)，通常情况下n>>m

(2)KMP算法

在朴素模式匹配算法中，若主串与模式串不匹配，那么i就要回退到2，j回退到1。换个角度也可以理解为，将模式串往右移动了一步。

匹配失败，模式串继续右移。朴素模式匹配算法的缺点就是，当某些子串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针 i 经常回溯，导致时间开销增加。

所以KMP算法针对这一点进行了改进，即主串指针不回溯，只有模式串指针回溯。

若扫描到不匹配的字符，那么就将这个字符与模式串的第一个字符进行比较，即 i 指向的位置不变，j指回1。也可以理解为模式串往后移动了5步，相比于朴素匹配算法中模式串一步一步右移，这个算法的效率提高了很多。

1.若这个字符也为g，那么就让i++,j++，也就是继续匹配后一个字符。

2.若这个字符不为j，那么就 i++，j依然保持1

3.若扫描到 j =5，才发现匹配失败，也就是 i指向的字符不是“l”。

也就是以“g”开头的字符串与模式串是不匹配的，同理，因为之前扫描过的“o”“o”，都匹配上了(不匹配的字符之前，主串的字符一定是和模式串一致的)，那么以“o”开头的字符串肯定也匹配不上。

但是以g开头的子串是可能与模式串进行匹配的，但是在代码中只是判断了i指向的字符与“l”是不匹配的，所以我们可以间接判断，i指向的字符是不是“o”，因为“g”后面是“o”。

所以若j=5 时发生不匹配，则应让 j 回到 2。

4.若 j=4 时发生不匹配，则应让 j 回到1。但是其实这里 i 指向字符一定不是 “g” 了

那么让j回到1，继续重新匹配，就会在开头进行一次没有必要的对比

但是相比于朴素匹配算法而言，他已经少对比了2次了。改进方法在KMP算法的改进中会讲。

5.若 j=3 时发生不匹配，则应让j回到1

相比于朴素算法而言，少进行了一次对比

6.若j=2时发生不匹配，则应让 j 回到1

总结：

当j=k且发现字符不匹配时，令j=next[k]。例如，当j=5发现不匹配时，那么就让j=next[5]，即2。

注：当j=1，即第1个字符匹配失败时，先令j=0，再进行i++，j++，就可以使i往后扫描字符，而j保持1。看代码应该能更好理解。

所以KMP算法的关键根据模式串的内容设计出合适的数组next。next数组只和模式串有关，和主串没有关系，也就是说只要模式串不变，不管主串是什么，next数组都是一样的。

代码如下：

int Index_KMP(SString S,SString T,int next[]){
    int i=1,j=1;
    while(i<=S.length && j<=T.length){
        if(j==0 || S.ch[i]==T.ch[j])    
//刚开始j=1,若j=1时，两个字符不匹配，那么跳转到else
//else中，j=next[j],j=next[1]=0,若j=0,那么++i,让i指针向后扫描，并且让j指针保持1
        {
            ++i;
            ++j;    //继续比较后继字符

        }
        else
            j=next[j];    //模式串向右移动
    }
    if(j>T.length)
        return i-T.length;    //匹配成功
    else
        return 0;

}

相比于朴素模式匹配，KMP算法修改了两个部分，当主串和模式串不匹配时，不需要主串指针i回溯，只需要修改模式串中指针 j 即可。

•求模式串中的next数组（重点）

当模式串的第 j 个字符匹配失败时，令模式串跳到 next[j] 再继续匹配。

如下图所示，若j=6时不匹配，应该让next[6]=3,即让 j 指向3，或者说模式串向右移动3位。对比主串中i指向的字符和c是否能匹配。

同理，当j=7时，匹配失败，将模式串往右移动2位，让j=5，看i指向的字符能否与"a"匹配（next[7]=5）。

若刚开始i指向的字符“a”与“c”不匹配，并且将模式串直接向右移动了4位，即next[7]=3，如下图所示：

那么继续往后检查，当i指向字符“c”时，发现a，c并不匹配。

但是按照刚开始的方案，即符号串往右移动2位，那么字符应该是匹配的。

所以只要模式串中有更长的部分能匹配，那么就只考虑更长的情况：

特殊的情况上面已经说过了，即j=1时匹配失败，那么只能紧接着匹配下一个子串，先令j=0，然后让i++，j++，i向后继续扫描，而j=1。所以对任何一个字符串而言，next[1]都为0。

我们将以下红框部分称为串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的子串。

串的后缀：包含最后一个字符，且不包含第一个字符的子串。

得出结论：当第 j 个字符匹配失败，由前1~j-1个字符组成的串记为S，则：next[j]= S的最长相等前后缀长度+1。并且next[1]是固定为0的。

例如上图，最长相等前后缀=4，那么next[j]=4+1=5。

•练习：

模式串：‘ababaa’

1.next[1]=0

2.next[2]表示当匹配到第2个字符时匹配失败，在第2个字符之前组成的串'a'。'a'不存在前缀和后缀，所以其最长前后缀长度=0，所以也可以总结next[2]一定是1

3.next[3]表示当匹配到第3个字符时匹配失败，第3个字符之前组成的串是'ab',其最长相等前后缀长度也为0，所以next[3]=1

4.同理第4个字符前面的字符串“aba"，其最长相等前后缀长度为1，所以next[4]=1+1=2

5.第5个字符前面的字符串“abab”，所以next[5]=2+1=3

6.第6个字符前面的字符串为“ababa”，所以next[6]=3+1=4

所以模式串“ababaa”的next数组如下：

代码实现如下：

//求模式串T的next数组
void get_next(SString T,int next[]){    T为模式串
    int i=1,j=0;
    next[1]=0;
    while(i< T.length){   
        if(j==0 || T.ch[i]=T.ch[j]){    
            ++i; ++j; 
    //若pi=pj,则next[j+1]=next[j]+1  
            next[i]=j;
        }
        else
            //否则令j=next[j],循环继续
            j=next[j];
    }
}
//while循环中i<T.length,也就是i的范围是1~m,所以可以认为这个函数的时间复杂度为O(m)

//KMP算法
int Index_KMP(SString S,SString T){
    int i=1,j=1;
    int next[T.length+1];
    get_next(T,next);    //求模式串的next数组
    while(i<=S.length && j<=T.length){
        if(j==0 || S.ch[i]==T.ch[j])    
        {
            ++i;
            ++j;    //继续比较后继字符
        }
        else
            j=next[j];    //模式串向右移动
    }
    if(j>T.length)
        return i-T.length;    //匹配成功
    else
        return 0;
}
//在KMP算法中,i由1~n,再加上调用的get_next函数，所以KMP算法的时间复杂度为O(n+m)

朴素模式匹配算法中，当某些子串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针 i 经常回溯，导致时间开销增加。最坏时间复杂度O(nm)。而KMP算法中，根据模式串T求出next数组，当子串和模式串不匹配时，利用next数组进行匹配，主串指针 i 不回溯，模式串指针 j=next[j] 。算法最坏时间复杂度:O(n+m)，其中，求 next 数组时间复杂度O(m)，模式匹配过程最坏时间复杂度 O(n)。

如果不会经常出现子串与模式串部分匹配问题，那么KMP算法就显先不出很大的优势。

(3)KMP算法的进一步优化

KMP算法是通过next数组进行匹配的。下面例子中，j指向的字符是a，那么说明主串中的第3个字符一定不是a。

当j=3的字符与主串不匹配时，让j指针指向1，那么j指向的字符a与主串中第3个字符肯定是不匹配的。

所以当j=1的字符与匹配失败的字符相等时，直接让next[3]=0,跳过中间next[3]--->next[1]--->0这一步。

同理：

当j=5时，模式串与主串的值不匹配，即主串的第5个字符不是"b"，那么让next[5]=2。

但是由于第2个字符与匹配失败的这一字符相等，所以让 j 指向第2个位置后，接下来的匹配一定是不成功的。这次匹配失败后，next[2]=1，让j=1。

所以可以直接跳过注定匹配失败的那一步，直接让next[5]=1，这样就能少做一次对比。

所以总结下来，如果next数组所指的字符与原本失配的字符相等的话，就可以对next数组优化，如果不等的话，则next数组的值是不变的。

在KMP算法的优化中，我们只优化了next数组，所以在进行KMP算法中，将nextval[]数组替换next[]数组即可。

•求nextval数组的方法（重点）

若模式串ababaa的next数组如下图所示：

nextval[1]=0; //nextval[1]的值直接写0

如果next[j]所指的字符，与j所指的字符不相同，就让nextval[j]=next[j]，例如下图，当前j所指的字符是b，而其next[2]所指的字符是a，两者不同，那么nextval[2]=1 不变。

如果j指向的字符与next[j]所指的字符相同，例如下图，j=3时，j所指的字符是a，其next[3]所指的字符也是a，那么就让nextval的值优化为next[1]的值0。

nextval[j]=nextval[next[j]]; //nextval[3]=nextval[next[3]]

以此类推：

j=5时指向的是a，next[5]也是a，那么其nextval[5]等于0，不再等于1了，根据已经优化的数组来。

最后得到：

代码如下：

nextval[i]=0;
for (int j=2;i<=T.length;j++){
    if(T.ch[next[j]]==T.ch[j])
        nextval[j]=nextval[next[j]];
    else
        nextval[j]=next[j];
}