62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

思路:

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2.确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3.dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为：

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

4.确定遍历顺序

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

5.举例推导dp数组

代码参考:

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
       int[][] dp=new int[m][n];
       //dp[i][j]表示从(0,0)位置走到(i,j)位置有几种路径
       ///dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i+1][j]
       //初始化 dp[0][j]=1;dp[i][0]=1
       for(int i=0;i<n;i++){
        dp[0][i]=1;
       }
       for(int i=0;i<m;i++){
        dp[i][0]=1;
       }
       //注意遍历开始位置
       for(int i=1;i<m;i++){
        for(int j=1;j<n;j++){
          dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
        }
       }
     return dp[m-1][n-1];
    }
}

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63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

思路:

思路与上题一致,区别在于有障碍物的位置dp[i][j]=0;

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2.确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3.dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。有障碍物的位置为0

所以初始化代码为：尤其注意初始化位置是否有障碍物

   //初始化
    for(int i=0;i<obstacleGrid.length&&obstacleGrid[i][0]==0;i++){
       dp[i][0]=1;
     }
    for(int j=0;j<obstacleGrid[0].length&&obstacleGrid[0][j]==0;j++){
            dp[0][j]=1;
        }

4.确定遍历顺序

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

5.举例推导dp数组

代码参考:

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
     int[][] dp=new int[obstacleGrid.length][obstacleGrid[0].length];
     for(int i=0;i<dp.length;i++){
        Arrays.fill(dp[i],0);
     }
     //初始化
    for(int i=0;i<obstacleGrid.length&&obstacleGrid[i][0]==0;i++){
       dp[i][0]=1;
     }
    for(int j=0;j<obstacleGrid[0].length&&obstacleGrid[0][j]==0;j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        //遍历
    for(int i=1;i<obstacleGrid.length;i++){
            for(int j=1;j<obstacleGrid[0].length;j++){
                if(obstacleGrid[i][j]==1){
                    continue;
                }
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[obstacleGrid.length-1][obstacleGrid[0].length-1];
    }
}