RSA解密

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题目：

思路：

对于这道题目，给出了三个已知量n d C，要我们进行解密，对于解密的公式$X=C^e\mathrm{mod}n$来讲，我们有唯一的参数e是未知的，因此问题就转化为了如何求解e的值，对于求解e的值，题目给出的有用条件：找到两个质数p q使其满足$d=p\cdot q$ 和 $d\mathrm{mod}(p-1)\cdot (q-1)=1$，即d与（p - 1）·（q - 1）互质，然后给出$(d\cdot e)\mathrm{mod}((p-1)\cdot (q-1))=1$。使用更易懂的公式可表述为：$d\cdot e-k((p-1)\cdot (q-1))=1，（其中k是一个未知量）$，意思是：对于$d\cdot e$，可以减去$k$个$(p-1)\cdot (q-1)$，使得最后的差值为$1$。

对公式$d\cdot e-k((p-1)\cdot (q-1))=1，（其中k是一个未知量）$ 的理解：

举个例子：假设$d\cdot e=16$而$(p-1)\cdot (q-1)=5$，我们要求$(d\cdot e)\mathrm{mod}((p-1)\cdot (q-1))=1即16\mathrm{mod}5=1$，这个意思是使16除以5的余数为1，因为除法和减法有着非常大的联系（除以一个数的值等于减去这个数的次数，余数等于相减之后的差值），因此我们可以从新将其写为$16-k\cdot 5=1$，即16 减去多少个5后值为1。

为了方便书写，我们设$\phi =(p-1)\cdot (q-1)$，这样公式就又化简为了$d\cdot e-k\phi =1，（其中k是一个未知量）$，由于又涉及到了两个新的未知量$\phi$和$k$，要想求出$e$，我们需要提前求出$\phi$和$k$，对于k，暂时无法直接求出，因为并没有足够的信息能够求出这个值（在下面会使用到扩展欧几里得算法进行求解），对于$\phi$，其中又包含了两个参数p和q，对于p和q的求解，我们可以使用枚举的思想，利用给出的公式$d=p\cdot q$和p q都是质数这两个条件进行求解。

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求解参数 $p$ 和参数 $q$

一个规律是：对于一个数，如果这个数是由两个质数相乘得来的，那么这个数的因子只包含1和它本身以及相乘而来的两个质数。如：$35=5\times 7$，那么35的因子有1 35 5 7这四个数。

利用这个规律，我们可以设计出如下算法：

// 寻找pq的值
void Find(long long n, long long &p, long long &q){
	int ans;
	for(long long i = 2;i * i <= n;i ++){
		if(n % i != 0){
			continue;
		}
		p = i;
		q = n / p;
	}
	return ;
} 

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如此我们便找到了两个参数p和q，接下来便到了真正要求解参数e的时候了我们得到了参数$\phi$，因此原公式$d\cdot e-k\phi =1$，只剩下了两个参数k，和我们需要的参数e，这就变为了求解一个二元一次方程组，对于二元一次方程组，要想求出两个未知量，我们至少需要直到两个等式关系，但是这里我们只知道了一组等式关系，因此无法使用常规的思想进行求解。但是观察到等式右边的值为1，如果了解扩展欧几里得算法的小伙伴就会想到，这个方程可以使用扩展欧几里得的方法进行求解。

扩展欧几里得算法

对于扩展欧几里得算法，百度上是这样解释的。

对于公式：$ax+by=\gcd (a,b)$，gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。一个理解方式是：如果a，b是整数，那么一定存在整数x和y，能使得公式$ax+by=\gcd (a,b)$成立。换句话说：如果公式$ax+by=C$成立，那么$C$一定是$\gcd (a,b)$的若干倍。

对于扩展欧几里得算法由如下公式：

公式推导：

$a_1\cdot x_1+b_1\cdot y_1=\gcd (a_1,b_1)$
$a_2=(b1)\cdot x_2+b_2=(a_1\%b_1)=\cdot y_2=\gcd (a_2,b_2)$
$a_3=(b2)\cdot x_3+b_3=(a_2\%b2)\cdot y_3=\gcd (a_3,b_3)$
$⋮$
$a_{i-1}=(b_{i-2})\cdot x_{i-1}+b_{i-1}=(a_{i-2}\%b_{i-2})\cdot y_{i-1}=gcd(a_{i-1},b_{i-1})$
$a_i=(b_{i-1})\cdot x_i+b_i=(a_{i-1}\%b_{i-1})\cdot y_i=gcd(a_i,b_i)$
$⋮$
$a_{n-1}=(b_{n-2})\cdot x_{n-1}+b_{n-1}=(a_{n-2}\%b_{n-2})\cdot y_{n-1}=gcd(a_{n-1},b_{n-1})$
$a_n=(b_{n-1})\cdot x_n+b_n=(a_{n-1}\%b_{n-1})\cdot y_n=gcd(a_n,b_n)$

由欧几里得算法（即：辗转相除法）可以知道： $\gcd (a_{i-1},b_{i-1})=\gcd (a_i,b_i)$，即无论a和b的值是什么，其最大公因数永远是相等的。

因此可以得到：$a_i=(b_{i-1})\cdot x_{i-1}+b_i=(a_{i-1}\%b_{i-1})\cdot y_{i-1}=a_{i-1}=(b_{i-2})\cdot x_i+b_{i-1}=(a_{i-2}\%b_{i-2})\cdot y_i$

因为：$a\%b=a-\frac{a}{b}\times b$，带入到上述公式中得可以得到：$a_{i-1}\cdot x_{i-1}+b_{i-1}\cdot y_{i-1}=b_{i-1}\cdot x_i+(a_{i-1}-(a_{i-1}/b_{i-1})\times b_{i-1})\cdot y_i$，整理可得：$a_{i-1}\cdot x_{i-1}+b_{i-1}\cdot y_{i-1}=a_{i-1}\cdot y_i+b_{i-1}\cdot (x_i-\frac{a_{i-1}}{b_{i-1}}\cdot y_i)$

可以发现如下规律：

$x_{i-1}=y_i$

$y_{i-1}=x_i-\frac{a_{i-1}}{b_{i-1}}\cdot y_i$

并且由欧几里得算法可以得到：最后$b_n=0$，$a_n=gcd(a,b)$

如果我们知道了gcd(a, b)，那么我们可任意设定$y_n$的值，因为$y_n$的参数$b_n=0$，并且设定$x_n$的值为$gcd(a,b)$，再利用上面得到的规律，可以递归的求解出$x_1$和$y_1$的值。举例：对于$a_n=(b_{n-1})\cdot x_n+b_n=(a_{n-1}\%b_{n-1})\cdot y_n=gcd(a_n,b_n)$，我们可以求解出$x_n$和$y_n$（因为这两个值是设定出来的），然后$x_{n-1}=y_n{y}_{n-1}=x_n-\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\cdot y_n$，如此便可递归的求解出$x_1$和$y_1$了。

因为公式$d\cdot e-k\phi =1$中$d$与$\phi$是互质的，也就是$\gcd (d,\phi )=1$，正好可以使用扩展欧几里得算法进行求解这个二元一次方程组，相当于已经知道了$\gcd (d,\phi )$的值，$d\cdot e-k\phi =\gcd (d,\phi )=1$。

代码实现：

long long ex_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){   // 这里的参数x，y一定要用引用的方式传参
	if(!b){  // 如果b == 0, 表明已经递归到最后一个了，就设定y = 0, x = 1(表示a和b的最大公因子)
		x = 1;
		y = 0;
		return a;   // 到达最后一个公式后就进行返回a，a表示的是第一个式子的最大公因子
	}
	long long d = e_gcd(b, a % b, x, y);  // 记录下一个式子的返回的a的值，因为是递归的关系，最终记录的是最后一个式子的a的值。
	long long t = x;   // 使用临时变量记录一下下一个式子得到的x的值
	x = y;  // 更新当前式子的x的值
	y = t - a / b * y;  // 更新当前式子的y的值
	return d;  // 最后返回d，d的值是由最后一个公式的a的值进行传递过来的，即（a, b）的最大公因子
}

如此我们便可以求得e，k，的值了，如果上述代码返回的不是1，即(a, b)的最大公因子不是1，说明没有解，即：a与b的最大公因子不是1，那么就直接输出-1，如果返回的是1，表明有解，并且已经求出解了，即：e = x， k = y。为了防止e为负数，需要对计算出的结果做如下运算：$e=(e\mathrm{mod}\phi +\phi )\mathrm{mod}\phi$。

如何理解公式$e=(e\mathrm{mod}\phi +\phi )\mathrm{mod}\phi$呢？

通俗的解释：

因为e满足公式$e\cdot d\equiv 1\mathrm{mod}\phi (n)$ ，也就是$e\cdot d$与1在模$\phi$下余数相等，因此为了确保e为正值，我们可以利用公式$e=(e\mathrm{mod}\phi +\phi )\mathrm{mod}\phi$来使e保持$0-\phi$的范围内，举个例子：如果 a = -3，b = 17，m = 5，那么 $-3\equiv 17(\mathrm{mod}5)$，因为 -3 除以 5 的余数为 2，17 除以 5 的余数也为 2，为了保证a为正值，我们可以令：$(-3\mathrm{mod}5+5)\mathrm{mod}5=(2+5)mod5=2$。得到$a=2$，并且a与5进行取余得到的结果也为2。

较为官方的解释：

保持同余性质：在RSA算法中，e和 d 必须满足 $e\cdot d\equiv 1\mathrm{mod}\phi (n)$ 表示$e\cdot d$与1在模$\phi$下余数相等，这是加密和解密正确性的基础。如果 e 为负数，直接取模可能会导致 e 和 d 不满足同余性质。通过使用 $e=(e\mathrm{mod}\phi +\phi )\mathrm{mod}\phi$ 这样的方法，可以保持 e 在模 $\phi$ 下的同余性质不变，同时确保 e为正值。

在数论中，同余性质是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相同。形式上，如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，则称 a 和 b 在模 m下同余，记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。例如，如果 a = 7，b = 17，m = 5，那么 $7\equiv 17(\mathrm{mod}5)$，因为 7 除以 5 的余数为 2，17 除以 5 的余数也为 2。

在求解出e之后，我们可以直接使用公式：$X=C^e\mathrm{mod}n$，将值进行带入即可，但是又因为$C$的值非常大，我们需要用到快速幂的方法，又因为快速幂中存在乘法运算，极易导致内存溢出的现象（在很大的数的情况下），因此我们需要在快速幂的基础上使用快速乘的方法进行运算（在计算机中，计算加法的速度往往比计算乘法的速度要快），并且数值都要使用long long的类型。

代码：

// RSA解密
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<vector> 
using namespace std;
typedef long long ll;
// 最大公约数
int gcd(int a, int b){
	return b == 0? a : gcd(b, a % b);
} 

// 扩展欧几里得算法
long long e_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
	if(!b){  // 如果b == 0 
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	long long d = e_gcd(b, a % b, x, y);
	long long t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return d;
}

// 快速乘算法
ll FastTimes(ll num, ll times, ll n){
	ll ans = 0;    // 这里要初始化为0 
	num %= n;
	while(times){
		if(times & 1){
			ans += num;
			ans %= n;
			times --;
		}else{
			times >>= 1;
			num += num;
			num %= n;
		}
	}
	return ans;
} 

// 快速幂算法
ll FastPower(ll base, ll index, ll n){
	ll ans = 1;
	base %= n;
	while(index){
		if(index & 1){
			ans = FastTimes(ans, base, n);
			index--;
		}else{
			index >>= 1;
			base = FastTimes(base, base, n);
		}
	}
	return ans;
}

// 寻找pq的值
void FindPQ(ll n, ll &p, ll &q){
	int ans;
	for(ll i = 2;i * i <= n;i ++){
		if(n % i != 0){
			continue;
		}
		p = i;
		q = n / p;
	}
	return ;
} 

int solve(){
	ll n = 1001733993063167141;
	ll c = 20190324;
	ll d = 212353;
    ll p = -1, q = -1;
    // FindPQ(n, p, q);  // 找到p q的值
	p=891234941,q=1123984201;
	// 找到p 和 q之后继续寻找e
	ll fy = (p - 1) * (q - 1);
	ll _x, _y;
	ll gc = e_gcd(d, fy, _x, _y);
 	ll e;
	if(gc == 1){
		e = (_x%fy + fy)%fy;
	}else{
		return -1;
	}

	ll X = FastPower(c, e, n);
	cout<<X<<endl;
	return 0;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	ll t = 1; 
	while(t--){
		solve();
	}
	return 0;
}