图的割点以及桥

图的割点：割点是指在无向连通图中，某点和该点连接的边去掉以后图便不再连通

在上面的图片中（上面是一个有向图，我们当作无向图即可）我们知道当我们去掉A点之后，这个图就完完全全变成了俩个部分。

图的桥：桥是指去掉某一条边之后，这个图也是不连通的一个图

上面我们可以知道A-E、E-F是桥。

这俩个，都是建立在tarjan算法之上的，建议大家先去了解tanjan算法。

割点的特点：

因为这里是无向图，所以我们不能让当前结点的儿子节点去访问自己，可以访问到自己的祖宗节点。

割点的特征是：

是根节点，且至少有俩个儿子节点
不是跟节点，但是，本节点的dfn值<=儿子节点的low值。

为什么是这个特征？

因为根节点如果没有俩个儿子节点，它去除之后，并不能把图分开，但是如果有俩个以上，就能够分开这个图。

而不是根节点的部分，如果儿子节点的low值是大于dfn的，说明儿子节点是需要通过当前节点来访问到它自己（儿子节点），而当前节点的dfn值大于等于儿子节点的low值的话，说明儿子节点要么可以访问到更早的节点（这是大于的情况），因为在无向图中，儿子节点可以访问的更早，就说明，那个更早的节点也是可以不通过当前节点去访问儿子节点的；要么就是儿子节点能够通过其他节点访问到当前节点（因为我们规定儿子节点是不能访问当前节点的，这是等于的情况），通常这个情况是构成了一个环路了。

桥的特征是：

儿子节点的low值大于当前节点的dfn值。

为什么是这个特征？

因为当儿子节点的low值是大于当前节点的dfn值，说明儿子节点无法通过当前节点的父节点去寻找到另外一条路径，所以当儿子节点的low值大于当前节点的dfn值时，说明当前节点到儿子节点的这条边时桥。

C代码如下：

#include<stdio.h>
#define N 100
int n,m,top;
int e[N][N];
int timez,dfn[N],low[N],book[N];
int father[N];
int minz(int a,int b)
{
	if(a<b) return a;
	return b;
}
int dfs(int pre,int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++timez;
	father[x]=pre;
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(dfn[i]==0&&e[x][i])
		{
			dfs(x,i);
			low[x]=minz(low[x],low[i]);	
			if(j>=2) book[x]=1;
			
			if(dfn[x]<low[i]) printf("%d %d是桥\n",x,i);
		}
		else if(e[x][i]&&i!=pre)
		{
			low[x]=minz(low[x],dfn[i]);
		}
	}
	
	return 0;
}
int main()
{
	int i,j,u,v;
	puts("请输入你所需要的顶点总数：");
	scanf("%d",&n);
	puts("请输入你所需要的边的总数");
	scanf("%d",&m);
	puts("请输入边的起点、终点：");
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		e[u][v]=1;
		e[v][u]=1;
	}
	puts("请输入顶点：");
	scanf("%d",&top);
	dfs(0,top);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(book[i]==1) printf("%d是割点\n",i);
	}
	return 0;
}

C++代码如下：

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=100;
int n,m,top;
int e[N][N];
int timez,dfn[N],low[N],book[N];
int father[N];
int minz(int a,int b)
{
	if(a<b) return a;
	return b;
}
int dfs(int pre,int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++timez;
	father[x]=pre;
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(dfn[i]==0&&e[x][i])
		{
			dfs(x,i);
			low[x]=minz(low[x],low[i]);	
			if(j>=2) book[x]=1;
			
			if(dfn[x]<low[i]) cout << x << i << "是桥\n" ;
		}
		else if(e[x][i]&&i!=pre)
		{
			low[x]=minz(low[x],dfn[i]);
		}
	}
	
	return 0;
}
int main()
{
	int i,j,u,v;
	cout << "请输入你所需要的顶点总数：" << endl;
	cin >> n ;
	cout << "请输入你所需要的边的总数" << endl;
	cin >> m ;
	cout << "请输入边的起点、终点：" << endl;
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		cin >> u >> v;
		e[u][v]=1;
		e[v][u]=1;
	}
	cout << "请输入顶点：" << endl;
	cin >> top ;
	dfs(0,top);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(book[i]==1) cout << i << "是割点\n" ;
	}
	return 0;
}