蓝桥集训之斐波那契数列

• 核心思想：矩阵乘法

  • 将原本O(n)的递推算法优化为O(log₂n)

  • 

  • 构造1x2矩阵f和2x2矩阵a

  • 发现f(n+1) = f(n) * a

    • 则f(n+1) = f(1) * aⁿ
    • 可以用快速幂优化

•   #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    const int MOD = 10000;
    int f[2];
    int a[2][2];
    int n;
    
    void mul1()
    {
        int res[2];  //res = res*a 求1x2矩阵
        memset(res,0,sizeof res);
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                res[i] = (res[i] + f[j] * a[j][i]) %MOD;  //计算f*a
                
        memcpy(f,res,sizeof f);
    }
    void mul2()
    {
        int res[2][2];  //a = a*a 求2x2矩阵
        memset(res,0,sizeof res);
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                for(int k=0;k<2;k++)
                    res[i][j] = (res[i][j] + a[i][k] * a[k][j])%MOD;  //计算a*a
        
        memcpy(a,res,sizeof a);
    }
    void qmi(int n)
    {
        while (n)  //快速幂优化
        { 
            if(n&1) mul1();  //res = res*a%MOD
            mul2();  //a = a*a%MOD
            n>>=1;
        }
    }
    int main()
    {
        while(cin>>n , n!=-1)
        {
            f[0] = 0,f[1] = 1;  //初始化第0 1项
            a[0][0] = 0,a[0][1] = 1,a[1][0] = 1,a[1][1] = 1;  //初始化a矩阵
            qmi(n); 
            cout<<f[0]<<endl;
        }
        return 0;
    }