资料：https://www.zhihu.com/question/47559783/answer/2988744371
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https://blog.csdn.net/seek97/article/details/120012667

一、基本思想

• 在对一个状态值进行估计的时候，如果想测量值更准，很自然的一个想法就是用多个传感器去对同一个状态进行测量，然后取平均值。
  $$x_{估计}=\frac{(x_{传感器1}+x_{传感器2})}{2}$$

• 如果不同的传感器之间准确度有区别，那么对不同传感器的测量值取加权值就很有必要了。
  $$x_{估计}=\alpha \ast x_{传感器1}+(1-\alpha )\ast x_{传感器2}$$

• 如果我们并没有多余的对状态直接测量的传感器，但是有物理模型。基于上一时刻的状态估计值对当前时刻进行预测，也可以作为一个“传感器”的测量值。
  $$x_{估计}=\alpha \ast x_{预测}+(1-\alpha )\ast x_{传感器}$$

• 至此，卡尔曼滤波的基本思想就给出了，通过预测值和测量值的加权和作为当前状态的估计。那么问题的关键就变成了如何设置权重才能让这个估计是最优估计。

二、如何获得权重

1、直观理解

• 上面这种图中曲线是数值的概率分布情况（横轴是数值，纵轴是概率，积分是1），粉色曲线代表预测值，绿色代表测量值，蓝色是我们想得到的估计值。

• 针对正态分布的数据，如果方差越大，概率就约集中，也说明数值越可信。以方差为权重，并考虑和为1，则有如下公式：
  $$x_{估计}=\frac{{{\sigma }_{传感器}}^2}{({{\sigma }_{传感器}}^2+{{\sigma }_{预测}}^2)}\ast x_{预测}+\frac{{{\sigma }_{预测}}^2}{({{\sigma }_{传感器}}^2+{{\sigma }_{预测}}^2)}\ast x_{传感器}$$

• 如何从数学推导的角度印证上面这个公式呢？

2、数学推导

• 设$\alpha$是最佳的权重
  $$x_{估计}=\alpha \ast x_{预测}+(1-\alpha )\ast x_{传感器}$$
• 基于概率公式进行推导
  $${{\sigma }_{估计}}^2={\alpha }^2\ast {{\sigma }_{预测}}^2+{(1-\alpha )}^2\ast {{\sigma }_{传感器}}^2$$
• 基于导数=0计算${{\sigma }_{估计}}^2$的最小值
  $${\sigma }_{估计}=\frac{{{\sigma }_{传感器}}^2}{({{\sigma }_{传感器}}^2+{{\sigma }_{预测}}^2)}$$

3、迭代计算

• 卡尔曼滤波有五个公式，相互联系组成了迭代更新的公式

（1）预测状态的更新公式

$$x_{t,t-1}=a\ast {\hat{x}}_{t-1,t-1}+b+q$$

• $x_{t,t-1}$是这一次的预测状态值，${\hat{x}}_{t-1,t-1}$是上一次的估计值。a是状态转移，b是控制量，q是先验的模型噪声（很多没有这一项）

（2）预测状态协方差的更新公式

$${\sigma }_{t,t-1}=a^2\ast {\sigma }_{{\hat{x}}_{t-1,t-1}}+{\sigma }_q$$

• 系统模型的方差是变化的，系统的方差来源于两部分，一部分是上一时刻的估计值导致的误差，我们利用模型计算当前的状态时，只能使用上一次的估计值代替实际值。另一部分就是模型本身的误差，模型本身也会存在着系统误差。

（3）卡尔曼增益的更新公式

$$k_t=\frac{{\sigma }_{x,t-1}}{{\sigma }_{x,t-1}+{\sigma }_z}$$

• 这就是上面推导出的对估计值方差的最佳估计，在这种情况下估计值应该方差最小
• 传感器的方差一般是固定的，可以认为是先验知道的。预测值的方差在上一步已经获得。

（4）估计状态的更新公式

$${\hat{x}}_t=(1-k_t)\ast x_{t-1}+k_t\ast z_t$$

（5）估计状态协方差的更新公式

• 根据公式4就可以获得协方差：
  $${\sigma }_{{\hat{x}}_t}=(1-k_t{)}^2\ast {\sigma }_{x_{t-1}}+k_t^2\ast {\sigma }_{z,t}$$
• 再把公式3代入：

（6）扩展到多维情况

• H是观测值到状态值的转换矩阵
• Q是模型噪声，R是观测噪声。越小表示越相信对应的值，如果为0就代表完全相信（没有噪声当然可以完全相信了）

三、例子

（1）chatgpt生成的一维python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def kalman_filter(data, Q, R):
    # 初始化
    x = 0
    P = 1
    result = []

    for z in data:
        # 预测
        x_pred = x             #没有控制量
        P_pred = P + Q

        # 更新
        K = P_pred / (P_pred + R)
        x = x_pred + K * (z - x_pred)
        P = (1 - K) * P_pred

        result.append(x)

    return result

# 生成随机数据
np.random.seed(42)
data = np.random.normal(0, 1, 50)  # 生成50个均值为0，方差为1的随机数

# 添加噪声
data_noisy = data + np.random.normal(0, 0.8, 50)  # 添加方差为0.8的高斯噪声

# 卡尔曼滤波
Q = 0.1
R = 0.5
filtered_data = kalman_filter(data_noisy, Q, R)

# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data, label='True Data', color='blue')
plt.plot(data_noisy, label='Noisy Data', color='red', alpha=0.7)
plt.plot(filtered_data, label='Filtered Data', color='green', linestyle='--')
plt.legend()
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.title('Kalman Filter Example')
plt.show()